解の公式
a ≠ 0 のとき、ax² + bx + c = 0 について
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
どんな二次方程式にも使えます。だから、うまくいくときは因数分解のほうが速いとしても、覚えておく価値があります。
計算例
2x² + 5x − 3 = 0 なので a = 2、b = 5、c = −3。
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49。
- √49 = 7。
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0.5、および x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3。
一方を検算：2(0.25) + 2.5 − 3 = 0。✓
判別式で結果の見通しが立つ
b² − 4ac を判別式と呼びます。
- 正：異なる2つの実数解。放物線はx軸を2回横切ります。
- 0：x = −b/2a に重解。放物線はx軸に接するだけです。
- 負：実数解なし。2つの解は共役複素数の組 (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a になります。
判別式が平方数なら、その方程式は整数の範囲で因数分解できます。試す前に分かるので便利です。
因数分解が使える場合
x² + 7x + 12 なら、積が12で和が7になる2数を探します：3と4。よって (x + 3)(x + 4) = 0 で x = −3 または −4。x²に係数が付くと探索は長くなり、判別式が平方数でなければ見つかるものはありません。数秒だけ試し、だめなら公式に移りましょう。
平方完成
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2 なので −1 または −5。解くだけなら公式より遅いですが、公式はこの手順から導かれますし、頂点がそのまま出ます。(x + 3)² − 4 は、最小値が (−3, −4) にあることを意味します。
頂点、和、積
- 頂点は x = −b/2a。2つの解の中点です。
- 2解の和は−b/a、積はc/a。どんな答えでも素早く検算できます。
上の例なら和 = −5/2 = −2.5 で、0.5 + (−3) = −2.5。✓
ツール
二次方程式ソルバーは実数でも複素数でも2つの解を出し、判別式と頂点も示します。