La formule
Pour ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Elle marche pour toute équation du second degré, et c’est pour cela qu’il vaut la peine de la retenir, même si la factorisation est plus rapide quand elle aboutit.
Un exemple
2x² + 5x − 3 = 0, donc a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5, et x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Vérification de l’une : 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
Le discriminant annonce la suite
b² − 4ac s’appelle le discriminant.
- Positif : deux racines réelles distinctes, et la parabole coupe deux fois l’axe des x.
- Nul : une racine double en x = −b/2a, là où la parabole ne fait que toucher l’axe.
- Négatif : pas de racine réelle. Les deux solutions forment une paire de complexes conjugués, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Un discriminant carré parfait signifie aussi que l’équation se factorise sur les entiers, ce qui est utile à savoir avant d’essayer.
Factoriser, quand ça marche
Pour x² + 7x + 12, cherchez deux nombres de produit 12 et de somme 7 : 3 et 4. Donc (x + 3)(x + 4) = 0 et x = −3 ou −4. Avec un coefficient devant x², la recherche est plus longue, et si le discriminant n’est pas un carré parfait il n’y a rien à trouver. Essayez quelques secondes, puis passez à la formule.
La forme canonique
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, soit −1 ou −5. Pour résoudre, c’est plus lent que la formule, mais c’est ainsi qu’on démontre la formule, et cela donne directement le sommet : (x + 3)² − 4 signifie que le minimum est en (−3, −4).
Sommet, somme et produit
- Sommet en x = −b/2a, le milieu des deux racines.
- La somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a, ce qui donne une vérification rapide de tout résultat.
Dans l’exemple ci-dessus : somme = −5/2 = −2,5, et 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Outils
Le Solveur d’équation du second degré donne les deux racines, réelles ou complexes, avec le discriminant et le sommet.