La fórmula general
Para ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Funciona con cualquier ecuación de segundo grado, y por eso merece la pena memorizarla aunque factorizar sea más rápido cuando sale.
Un ejemplo
2x² + 5x − 3 = 0, así que a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5, y x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Comprobamos una: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
El discriminante te dice qué esperar
A b² − 4ac se le llama discriminante.
- Positivo: dos raíces reales distintas, y la parábola corta el eje x dos veces.
- Cero: una raíz doble en x = −b/2a, donde la parábola solo toca el eje.
- Negativo: no hay raíces reales. Las dos soluciones son un par de complejos conjugados, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Un discriminante que sea cuadrado perfecto significa además que la ecuación factoriza con números enteros, lo que es útil saber antes de intentarlo.
Factorizar, cuando sale
Para x² + 7x + 12, busca dos números que multiplicados den 12 y sumados 7: 3 y 4. Entonces (x + 3)(x + 4) = 0 y x = −3 o −4. Con coeficiente delante de x² la búsqueda es más larga, y si el discriminante no es un cuadrado perfecto no hay nada que encontrar. Intenta factorizar unos segundos y luego usa la fórmula.
Completar cuadrados
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, es decir −1 o −5. Para resolver es más lento que la fórmula, pero así se deduce la fórmula y da el vértice directamente: (x + 3)² − 4 significa que el mínimo está en (−3, −4).
Vértice, suma y producto
- Vértice en x = −b/2a, el punto medio entre las dos raíces.
- Las raíces suman −b/a y multiplicadas dan c/a, que es una comprobación rápida de cualquier resultado.
En el ejemplo de arriba: suma = −5/2 = −2,5, y 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Herramientas
La Calculadora de ecuaciones de segundo grado da las dos raíces, reales o complejas, junto con el discriminante y el vértice.