A fórmula
Para ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Funciona para qualquer equação de segundo grau, e é por isso que vale decorar, mesmo que fatorar seja mais rápido quando dá.
Um exemplo
2x² + 5x − 3 = 0, então a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5, e x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Conferindo uma: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
O discriminante diz o que esperar
b² − 4ac é chamado de discriminante.
- Positivo: duas raízes reais diferentes, e a parábola cruza o eixo x duas vezes.
- Zero: uma raiz dupla em x = −b/2a, onde a parábola apenas toca o eixo.
- Negativo: não há raízes reais. As duas soluções são um par de complexos conjugados, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Um discriminante que é quadrado perfeito também significa que a equação fatora com números inteiros, o que é útil saber antes de tentar.
Fatorar, quando dá
Para x² + 7x + 12, procure dois números cujo produto seja 12 e cuja soma seja 7: 3 e 4. Então (x + 3)(x + 4) = 0 e x = −3 ou −4. Com coeficiente na frente do x² a busca é mais longa, e se o discriminante não é quadrado perfeito não há nada a encontrar. Tente fatorar por alguns segundos e depois use a fórmula.
Completar quadrados
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, ou seja −1 ou −5. Para resolver é mais lento que a fórmula, mas é assim que a fórmula é deduzida, e dá o vértice direto: (x + 3)² − 4 significa que o mínimo está em (−3, −4).
Vértice, soma e produto
- Vértice em x = −b/2a, o ponto médio entre as duas raízes.
- As raízes somam −b/a e multiplicadas dão c/a, que é uma conferência rápida de qualquer resposta.
No exemplo acima: soma = −5/2 = −2,5, e 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Ferramentas
A Calculadora de equação de segundo grau dá as duas raízes, reais ou complexas, junto com o discriminante e o vértice.