Die Lösungsformel
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Sie funktioniert für jede quadratische Gleichung, und darum lohnt sich das Auswendiglernen, auch wenn Faktorisieren schneller ist, wenn es aufgeht.
Ein Rechenbeispiel
2x² + 5x − 3 = 0, also a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5, und x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Eine Probe: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
Die Diskriminante sagt, was zu erwarten ist
b² − 4ac heißt Diskriminante.
- Positiv: zwei verschiedene reelle Lösungen, und die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
- Null: eine doppelte Lösung bei x = −b/2a, wo die Parabel die Achse nur berührt.
- Negativ: keine reellen Lösungen. Die beiden Lösungen sind ein konjugiert komplexes Paar, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Ist die Diskriminante eine Quadratzahl, lässt sich die Gleichung auch über den ganzen Zahlen faktorisieren, was man gut vorher weiß.
Faktorisieren, wenn es aufgeht
Für x² + 7x + 12 suchst du zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe 7: 3 und 4. Also (x + 3)(x + 4) = 0 und x = −3 oder −4. Mit einem Koeffizienten vor x² dauert die Suche länger, und ist die Diskriminante keine Quadratzahl, gibt es nichts zu finden. Probiere es ein paar Sekunden und nimm dann die Formel.
Quadratische Ergänzung
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, also −1 oder −5. Zum Lösen ist das langsamer als die Formel, aber so wird die Formel hergeleitet, und der Scheitelpunkt fällt direkt an: (x + 3)² − 4 heißt, das Minimum liegt bei (−3, −4).
Scheitelpunkt, Summe und Produkt
- Scheitelpunkt bei x = −b/2a, dem Mittelpunkt der beiden Lösungen.
- Die Lösungen addieren sich zu −b/a und multiplizieren sich zu c/a, eine schnelle Probe für jedes Ergebnis.
Im Beispiel oben: Summe = −5/2 = −2,5, und 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Werkzeuge
Der Löser für quadratische Gleichungen liefert beide Lösungen, reell oder komplex, samt Diskriminante und Scheitelpunkt.