근의 공식
a ≠ 0인 ax² + bx + c = 0에 대해
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
모든 이차방정식에 통하므로, 인수분해가 될 때는 그쪽이 빠르더라도 외워 둘 가치가 있습니다.
계산 예
2x² + 5x − 3 = 0이므로 a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0.5, 그리고 x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
하나를 검산: 2(0.25) + 2.5 − 3 = 0. ✓
판별식이 결과를 미리 알려 준다
b² − 4ac를 판별식이라고 합니다.
- 양수: 서로 다른 두 실근. 포물선이 x축을 두 번 지납니다.
- 0: x = −b/2a에서 중근. 포물선이 x축에 접하기만 합니다.
- 음수: 실근이 없습니다. 두 해는 공액 복소수 쌍 (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a입니다.
판별식이 완전제곱수라면 그 방정식은 정수 범위에서 인수분해도 됩니다. 시도하기 전에 알 수 있어 유용합니다.
인수분해가 되는 경우
x² + 7x + 12이라면 곱이 12, 합이 7인 두 수를 찾습니다: 3과 4. 따라서 (x + 3)(x + 4) = 0이고 x = −3 또는 −4입니다. x²에 계수가 붙으면 찾는 데 더 오래 걸리고, 판별식이 완전제곱수가 아니면 찾을 것 자체가 없습니다. 몇 초만 시도하고 안 되면 공식으로 넘어가세요.
완전제곱식 만들기
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2이므로 −1 또는 −5. 푸는 속도는 공식보다 느리지만 공식 자체가 이 과정에서 유도되고, 꼭짓점이 바로 나옵니다. (x + 3)² − 4는 최솟값이 (−3, −4)에 있다는 뜻입니다.
꼭짓점, 합, 곱
- 꼭짓점은 x = −b/2a, 두 근의 중점입니다.
- 두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a. 어떤 답이든 빠르게 검산할 수 있습니다.
위 예라면 합 = −5/2 = −2.5이고, 0.5 + (−3) = −2.5. ✓
도구
이차방정식 풀이기는 실근이든 복소근이든 두 근을 모두 주고, 판별식과 꼭짓점도 함께 보여 줍니다.