द्विघात सूत्र
ax² + bx + c = 0 के लिए, जहाँ a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
यह हर द्विघात समीकरण पर चलता है, और इसीलिए इसे याद रखना काम आता है, भले गुणनखंड निकल जाए तो वह तेज़ पड़ता है।
एक उदाहरण
2x² + 5x − 3 = 0, तो a = 2, b = 5, c = −3।
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49।
- √49 = 7।
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0.5, और x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3।
एक की जाँच: 2(0.25) + 2.5 − 3 = 0। ✓
विविक्तकर बता देता है कि क्या मिलेगा
b² − 4ac को विविक्तकर कहते हैं।
- धनात्मक: दो अलग वास्तविक मूल, और परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है।
- शून्य: x = −b/2a पर एक दोहरा मूल, जहाँ परवलय अक्ष को सिर्फ़ छूता है।
- ऋणात्मक: कोई वास्तविक मूल नहीं। दोनों हल सम्मिश्र संयुग्मी जोड़े हैं, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a।
विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो तो समीकरण पूर्णांकों पर गुणनखंडित भी होता है, और यह कोशिश करने से पहले जान लेना काम का है।
गुणनखंड, जब निकल जाए
x² + 7x + 12 के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल 12 और जोड़ 7 हो: 3 और 4। तो (x + 3)(x + 4) = 0 और x = −3 या −4। x² के आगे गुणांक हो तो खोज लंबी हो जाती है, और विविक्तकर पूर्ण वर्ग न हो तो कुछ मिलेगा ही नहीं। कुछ सेकंड गुणनखंड की कोशिश करें, फिर सूत्र लगा दें।
पूर्ण वर्ग बनाना
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, यानी −1 या −5। हल निकालने के लिए यह सूत्र से धीमा है, लेकिन सूत्र इसी से निकलता है, और इससे शीर्ष सीधे मिल जाता है: (x + 3)² − 4 का मतलब है कि न्यूनतम (−3, −4) पर है।
शीर्ष, योग और गुणनफल
- शीर्ष x = −b/2a पर, जो दोनों मूलों का मध्यबिंदु है।
- मूलों का योग −b/a और गुणनफल c/a होता है, जिससे किसी भी उत्तर की जल्दी जाँच हो जाती है।
ऊपर के उदाहरण में: योग = −5/2 = −2.5, और 0.5 + (−3) = −2.5। ✓
टूल
द्विघात समीकरण सॉल्वर दोनों मूल देता है, वास्तविक हों या सम्मिश्र, साथ में विविक्तकर और शीर्ष भी।