Rumus kuadrat
Untuk ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Rumus ini berlaku untuk setiap persamaan kuadrat, dan karena itu pantas dihafal meski pemfaktoran lebih cepat ketika berhasil.
Contoh perhitungan
2x² + 5x − 3 = 0, jadi a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5, dan x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Periksa salah satunya: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
Diskriminan memberi tahu apa yang akan terjadi
b² − 4ac disebut diskriminan.
- Positif: dua akar real yang berbeda, dan parabolanya memotong sumbu x dua kali.
- Nol: satu akar kembar di x = −b/2a, tempat parabolanya hanya menyentuh sumbu.
- Negatif: tidak ada akar real. Kedua solusinya adalah pasangan kompleks konjugat, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Diskriminan yang berupa kuadrat sempurna juga berarti persamaannya bisa difaktorkan atas bilangan bulat, dan itu berguna diketahui sebelum mencoba.
Pemfaktoran, ketika berhasil
Untuk x² + 7x + 12, cari dua angka yang hasil kalinya 12 dan jumlahnya 7: 3 dan 4. Jadi (x + 3)(x + 4) = 0 dan x = −3 atau −4. Dengan koefisien di depan x², pencariannya lebih panjang, dan kalau diskriminannya bukan kuadrat sempurna tidak ada yang bisa ditemukan. Coba faktorkan beberapa detik, lalu pakai rumusnya.
Melengkapkan kuadrat
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, jadi −1 atau −5. Untuk mencari akar ini lebih lambat daripada rumus, tetapi dari sini rumusnya diturunkan, dan hasilnya langsung memberi titik puncak: (x + 3)² − 4 berarti minimumnya di (−3, −4).
Titik puncak, jumlah, dan hasil kali
- Titik puncak di x = −b/2a, titik tengah kedua akar.
- Jumlah akarnya −b/a dan hasil kalinya c/a, yang merupakan pemeriksaan cepat untuk jawaban apa pun.
Untuk contoh di atas: jumlah = −5/2 = −2,5, dan 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Alat
Penyelesai Persamaan Kuadrat memberi kedua akar, real atau kompleks, beserta diskriminan dan titik puncaknya.