Die Formel
gewichteter Mittelwert = Σ(Wert × Gewicht) ÷ Σ(Gewicht)
Jeden Wert mit seinem Gewicht multiplizieren, die Produkte addieren und durch die Summe der Gewichte teilen. Ein einfacher Mittelwert ist dieselbe Formel mit allen Gewichten auf 1.
Ein Rechenbeispiel
Ein Kurs mit 100 Punkten und vier Teilleistungen:
- Hausaufgaben 92, Gewicht 10 %
- Tests 85, Gewicht 20 %
- Zwischenprüfung 78, Gewicht 30 %
- Abschlussprüfung 90, Gewicht 40 %
Produkte: 9,2 + 17 + 23,4 + 36 = 85,6. Die Gewichte ergeben 100, der Mittelwert ist also 85,6.
Der einfache Mittelwert dieser vier Noten ist 86,25. Der gewichtete liegt darunter, weil die schwächste Note am stärksten zählt.
Die Gewichte müssen keine 100 ergeben
Das Teilen durch die Summe der Gewichte verträgt jede Skala. Credits von 3, 4, 3 und 5 funktionieren genauso wie Prozentwerte von 20, 27, 20 und 33: nur die Verhältnisse zählen. Ergeben die Gewichte zufällig 100, wird durch 100 geteilt – darum vergisst man diesen Schritt so leicht.
Der GPA ist ein gewichteter Mittelwert
Notenpunkte, gewichtet mit den Credits:
- Biologie, 4,0, 4 Credits → 16
- Analysis, 3,0, 3 Credits → 9
- Geschichte, 3,7, 3 Credits → 11,1
- Schreiben, 3,3, 2 Credits → 6,6
Summe 42,7 auf 12 Credits = 3,56 GPA. Der einfache Mittelwert der vier Noten ist 3,5, und der Abstand wächst, je weiter die Credits auseinanderliegen.
Zwei Fehler, auf die man achten sollte
Prozentwerte unterschiedlich großer Gruppen mitteln. Wenn ein Laden 10 % von 1.000 Besuchern umwandelt und ein anderer 30 % von 100, ist die gemeinsame Rate 130 ÷ 1.100 = 11,8 % und nicht die 20 %, die der Mittelwert der beiden Raten ergibt. Mit der Gruppengröße gewichten.
Raten mitteln, die harmonisch gemittelt werden müssen. 60 km mit 30 km/h und 60 km mit 60 km/h ergeben keine 45 km/h. Es dauert 2 h + 1 h für 120 km, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also 40 km/h. Alles, was „pro Einheit“ ist, braucht die Summen und nicht den Mittelwert der Raten.
Wo es noch auftaucht
Die Rendite eines Portfolios ist die der Positionen, gewichtet mit ihrem Wert. Ein Umfrageergebnis wird danach gewichtet, wie stark jede Gruppe über- oder unterrepräsentiert ist. Ein Mischzinssatz ist der Zins jedes Darlehens, gewichtet mit seinem Saldo. In jedem Fall ist das Gewicht die Größe dessen, was hinter der Zahl steht.
Werkzeuge
Der Rechner für den gewichteten Mittelwert nimmt jede Liste von Werten und Gewichten, in Prozent oder in Credits. Der GPA-Rechner macht die Credit-Variante von oben, und der Standardabweichungsrechner zeigt, wie weit die Werte hinter dem Mittelwert streuen.