Wahrscheinlichkeit und Verteilungen: Lernleitfaden

Kernideen

Die Wahrscheinlichkeit ordnet unsicheren Ereignissen Zahlen zwischen 0 und 1 zu. Einige Regeln zum Verknüpfen von Ereignissen, zum Abzählen von Anordnungen und zum Standardisieren eines normalverteilten Werts decken die meisten Aufgaben ab.

• Die Wahrscheinlichkeit von A oder B ist P(A) + P(B) − P(A und B). Für unabhängige Ereignisse gilt P(A und B) = P(A) × P(B).
• Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist P(A | B) = P(A und B) ÷ P(B).
• Geordnete Auswahlen zählt man mit Permutationen nPr, ungeordnete mit Kombinationen nCr. Die Binomialwahrscheinlichkeit für k Erfolge in n Versuchen ist C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
• Ein z-Wert z = (x − μ) ÷ σ gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht. Der Erwartungswert ist Σ x·P(x).

Wichtige Gleichungen

• z = (x − μ) ÷ σ
• P(k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
• nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r!(n − r)!)

Durchgerechnetes Beispiel

Ein IQ von 115 bei Mittelwert 100 und Standardabweichung 15 hat z = (115 − 100) ÷ 15 = 1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2-mal Kopf bei 5 fairen Würfen ist C(5, 2) × 0,5⁵ = 10 ÷ 32 = 0,3125. Die Auswahl und Reihung von 3 aus 8 Läufern für das Podest ergibt 8P3 = 336, die Wahl eines Dreierteams 8C3 = 56.

Häufige Fehler

• P(A) und P(B) addieren, ohne die Schnittmenge abzuziehen, was eine Wahrscheinlichkeit über 1 ergeben kann.
• Kombinationen verwenden, wenn die Reihenfolge zählt, oder Permutationen, wenn sie nicht zählt.
• Abhängige Ereignisse als unabhängig behandeln und multiplizieren.

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