Snelliussches Gesetz, Brechung und Totalreflexion

Warum Licht abknickt

Licht ist in Glas oder Wasser langsamer als in Luft. Die Brechzahl n sagt, um wie viel: In einem Stoff der Brechzahl n bewegt sich Licht mit c ÷ n, in Wasser (n = 1,333) also mit etwa 225.000 km pro Sekunde statt 300.000. Trifft ein Strahl schräg auf eine Grenzfläche, erreicht eine Seite den langsameren Stoff zuerst und wird zuerst gebremst, und der Strahl schwenkt herum, so wie eine Marschkolonne abbiegt, wenn ein Ende in Matsch tritt. Dieses Abknicken ist die Brechung.

Das Snelliussche Gesetz

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

• θ₁ ist der Einfallswinkel und θ₂ der Brechungswinkel, beide gemessen vom Lot, der Senkrechten auf der Fläche, nicht von der Fläche selbst.
• Beim Übergang in einen dichteren Stoff (n₂ > n₁) knickt der Strahl zum Lot hin ab, beim Austritt vom Lot weg.
• Ein Strahl, der senkrecht auftrifft (θ₁ = 0), geht gerade hindurch, nur langsamer.

Ein Rechenbeispiel

Ein Laser trifft in Luft unter 40° zum Lot auf einen Block aus Kronglas (n = 1,517).

1. sin θ₂ = (1,000 ÷ 1,517) × sin 40° = 0,659 × 0,643 = 0,424.
2. θ₂ = arcsin 0,424 = 25,1°.

Nicht alles Licht kommt hinein. Die Fresnelschen Formeln liefern den reflektierten Anteil; unter 40° von Luft in dieses Glas sind es etwa 4,8 %, bei senkrechtem Einfall ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4,2 %. Darum reflektiert eine Fensterscheibe mit ihren zwei Flächen etwa 8 % und zeigt nachts ein schwaches Spiegelbild.

Grenzwinkel und Totalreflexion

Beim Übergang aus einem dichteren in einen weniger dichten Stoff knickt der gebrochene Strahl vom Lot weg, und bei genügend großem Winkel müsste er unter mehr als 90° austreten. Das kann er nicht, also kommt gar kein Licht heraus, und alles wird reflektiert. Der Winkel, ab dem das passiert, ist der Grenzwinkel:

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (nur wenn n₁ > n₂)

• Wasser zu Luft: θ_c = arcsin(1 ÷ 1,333) = 48,6°. Schaut man unter Wasser zur Oberfläche hinauf, ist sie jenseits dieses Winkels ein Spiegel.
• Kronglas zu Luft: 41,2°. Ein 45°-Prisma reflektiert Licht deshalb vollständig, besser als ein versilberter Spiegel; so falten Ferngläser und Periskope ihren Strahlengang.
• Diamant zu Luft: 24,4°. Das meiste Licht, das in einen gut geschliffenen Diamanten fällt, wird gefangen und im Inneren hin- und hergeworfen, bevor es oben austritt; daher das Funkeln.

Schon vor dem Grenzwinkel steigt der reflektierte Anteil steil an: von Glas in Luft sind es 4 % senkrecht, etwa 10 % bei 35° und 100 % bei 41,2°.

Der Brewster-Winkel

Bei tan θ_B = n₂ ÷ n₁ (56,6° von Luft in Kronglas, 53,1° auf Wasser) wird in der Einfallsebene polarisiertes Licht gar nicht reflektiert, das reflektierte Licht ist also vollständig parallel zur Oberfläche polarisiert. Polarisationssonnenbrillen sperren diese Richtung, deshalb nehmen sie die Blendung von Wasser und Straßen weg.

Prismen und Dispersion

Die Brechzahl hängt leicht von der Wellenlänge ab. Für Kronglas ist sie etwa 1,531 für violettes Licht bei 400 nm und 1,513 für rotes bei 700 nm, also wird Violett an jeder Prismenfläche stärker gebrochen, und weißes Licht fächert sich zu einem Spektrum auf. Die Cauchy-Formel n(λ) = A + B ÷ λ² beschreibt das im sichtbaren Bereich gut, und die Simulation verwendet sie. Die Ablenkung eines Strahls durch ein Prisma ist am kleinsten, wenn er es symmetrisch durchquert, und dieses Minimum liefert die Brechzahl: n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2), mit A als brechendem Winkel. Für ein 60°-Prisma aus Kronglas ist δ_min etwa 38,6°.

Lichtleiter

Eine Glasfaser hält Licht durch Totalreflexion fest: ein Glaskern mit einem Mantel etwas kleinerer Brechzahl drumherum. Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels ins Ende fällt, trifft die Seite jedes Mal jenseits des Grenzwinkels und wird kilometerweit geleitet. Die numerische Apertur ist NA = √(n_Kern² − n_Mantel²) = sin θ_max (in Luft). Ein Kern mit 1,47 in einem Mantel mit 1,455 ergibt NA = 0,21 und einen Akzeptanzwinkel von etwa 12°.

Die Simulation benutzen

Im Brechungs-Simulator wählst du die beiden Stoffe und stellst den Winkel ein. Der Strahl, seine schwache Reflexion und das Lot werden gezeichnet, und die Punkte auf dem Strahl werden in jedem Stoff um den Faktor n langsamer. Das Diagramm zeigt den reflektierten Anteil über dem Winkel für beide Polarisationen, mit dem aktuellen Winkel, dem Brewster-Winkel und einem eventuellen Grenzwinkel. Probier das aus:

• Wasser in Luft und dann den Winkel schwenken: Sieh, wie sich der gebrochene Strahl an die Oberfläche legt und bei 48,6° verschwindet.
• Das Prisma mit weißem Licht: Lies die minimale Ablenkung ab, tausche dann Kronglas gegen Flintglas und sieh das Spektrum breiter werden.
• Die Faser bei 30° und dann bei 80° mit Wasser um das Glas: Jenseits des Akzeptanzwinkels tritt das Licht seitlich aus.

Was das Modell annimmt

• Strahlen. Licht wird als dünne Strahlen behandelt, die geradeaus laufen. Das ist geometrische Optik, genau, solange alles, worauf das Licht trifft, viel größer als seine Wellenlänge (etwa ein halber Mikrometer) ist.
• Ebene, saubere, scharfe Grenzen zwischen zwei gleichmäßigen, durchsichtigen Stoffen, ohne Absorption oder Streuung darin. Das Licht, das nicht reflektiert wird, wird vollständig weitergeleitet.
• Unpolarisiertes Licht für den reflektierten Anteil, der Mittelwert der beiden Polarisationen; das Diagramm zeigt jede einzeln.
• Brechzahlen aus der Cauchy-Formel, angepasst an typische Werte jedes Stoffs bei 20 °C. Echte Gläser schwanken je nach Sorte und Charge in der dritten Nachkommastelle.
• Nur der Hauptstrahl wird verfolgt, durch Prisma oder Faser, plus die erste Reflexion. Jede Fläche wirft in Wirklichkeit noch ein paar Prozent zurück, was schwache Geisterstrahlen ergibt, die die Simulation nicht zeichnet.
• Die Faser ist der Kern im zuerst gewählten Stoff, der für den Mantel steht; mit Luft drumherum ist der Akzeptanzwinkel daher 90°. Wähle Wasser um Glas, um einen realistischen, begrenzten Akzeptanzwinkel zu sehen.

Grenzfälle

• θ₁ = 0: Der Strahl geht ohne Abknicken hindurch, und der reflektierte Anteil ist für dieses Stoffpaar am kleinsten.
• Gleiche Brechzahlen: An der Grenze passiert nichts, kein Abknicken und keine Reflexion. Ein Glasstab verschwindet in Öl gleicher Brechzahl, ein Trick, um die Brechzahl eines Glases zu prüfen.
• Genau beim Grenzwinkel läuft der gebrochene Strahl an der Oberfläche entlang und trägt keine Energie; ein Haar darüber ist die Reflexion vollständig.
• Nahe 90° (streifender Einfall) wird an jeder Fläche fast alles Licht reflektiert, selbst von Luft in Glas; darum sieht eine Straße oder ein See wie ein Spiegel aus, wenn man flach darüberschaut.
• Prisma mit steilem brechendem Winkel oder hoher Brechzahl: Der Strahl trifft die zweite Fläche jenseits des Grenzwinkels und wird ins Prisma zurückgeworfen statt auszutreten, und es gibt keine minimale Ablenkung.

Wo das Modell nicht mehr stimmt

• Kleine Dinge. Spalte, Gitter, Tröpfchen und Fasern, die nur wenige Wellenlängen breit sind, beugen Licht, was Strahlen nicht beschreiben können; der Doppelspalt-Experiment-Simulator zeigt das Wellenbild. Echte Singlemode-Fasern der Telekommunikation haben Kerne von etwa 9 µm und müssen als Wellenleiter behandelt werden.
• Verhinderte Totalreflexion. Selbst bei Totalreflexion reicht eine schwache evaneszente Welle etwa eine Wellenlänge über die Fläche hinaus. Bringt man ein zweites Glas so nah heran, tunnelt Licht hinüber, was in der Strahlenoptik unmöglich ist.
• Absorbierende und metallische Stoffe haben eine komplexe Brechzahl, und die einfachen Fresnelschen Formeln hier gelten für sie nicht. Beschichtungen von Bruchteilen einer Wellenlänge, etwa Entspiegelungen, wirken durch Interferenz, die die Simulation nicht enthält.
• Wellenlängen außerhalb des Sichtbaren. Die Cauchy-Formel versagt nahe Absorptionsbanden im Ultravioletten und Infraroten, wo sich die Brechzahl sprunghaft ändert; dort nimmt man die Sellmeier-Gleichung.
• Ungleichmäßige Stoffe. Luft unterschiedlicher Temperatur, etwa über einer heißen Straße, hat eine allmählich wechselnde Brechzahl, sodass Licht sich krümmt statt an einer Fläche abzuknicken, und es entstehen Luftspiegelungen. Die Simulation kennt nur scharfe Grenzen.
• Kristalle wie Kalkspat sind doppelbrechend: Ihre Brechzahl hängt von Polarisation und Richtung ab, und ein Strahl teilt sich in zwei.

Passende Tools

Der Linsen- und Spiegel-Simulator nutzt die Brechung an gekrümmten Flächen, um Bilder zu erzeugen, und rechnet die Linsengleichung vor.