Loi de Snell-Descartes, réfraction et réflexion totale interne

Pourquoi la lumière se brise

La lumière se propage plus lentement dans le verre ou l'eau que dans l'air. L'indice de réfraction n dit de combien : dans un matériau d'indice n, la lumière va à c ÷ n, donc dans l'eau (n = 1,333) elle parcourt environ 225 000 km par seconde au lieu de 300 000. Quand un faisceau traverse une frontière en biais, un côté atteint le premier le matériau lent et ralentit le premier, et le faisceau pivote, comme une colonne en marche qui tourne quand une extrémité met le pied dans la boue. Ce pivotement, c'est la réfraction.

La loi de Snell-Descartes

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

• θ₁ est l'angle d'incidence et θ₂ l'angle de réfraction, tous deux mesurés depuis la normale, la droite perpendiculaire à la surface, et non depuis la surface.
• En entrant dans un matériau plus dense (n₂ > n₁), le rayon se rapproche de la normale ; en en sortant, il s'en éloigne.
• Un rayon qui arrive de face (θ₁ = 0) passe tout droit, simplement plus lentement.

Un exemple chiffré

Un laser dans l'air frappe un bloc de verre crown (n = 1,517) à 40° de la normale.

1. sin θ₂ = (1,000 ÷ 1,517) × sin 40° = 0,659 × 0,643 = 0,424.
2. θ₂ = arcsin 0,424 = 25,1°.

Toute la lumière n'entre pas. Les formules de Fresnel donnent la part réfléchie ; à 40° de l'air vers ce verre, elle est d'environ 4,8 %, et de face ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4,2 %. C'est pourquoi une vitre, avec ses deux faces, réfléchit environ 8 % et montre un faible reflet la nuit.

L'angle critique et la réflexion totale interne

En passant d'un matériau plus dense à un moins dense, le rayon réfracté s'éloigne de la normale, et à un angle assez grand il devrait sortir à plus de 90°. C'est impossible : aucune lumière ne sort et tout est réfléchi. L'angle où cela commence est l'angle critique :

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (seulement si n₁ > n₂)

• De l'eau vers l'air : θ_c = arcsin(1 ÷ 1,333) = 48,6°. Vue d'en dessous, la surface de l'eau est un miroir au-delà de cet angle.
• Du verre crown vers l'air : 41,2°. Un prisme à 45° réfléchit donc la lumière entièrement, mieux qu'un miroir argenté, et c'est ainsi que les jumelles et les périscopes replient leur trajet optique.
• Du diamant vers l'air : 24,4°. L'essentiel de la lumière qui entre dans un diamant bien taillé est piégé et rebondit à l'intérieur avant de ressortir par le haut, d'où son éclat.

Même avant l'angle critique, la part réfléchie grimpe vite : du verre vers l'air, 4 % de face, environ 10 % à 35° et 100 % à 41,2°.

L'angle de Brewster

Pour tan θ_B = n₂ ÷ n₁ (56,6° de l'air vers le verre crown, 53,1° sur l'eau), la lumière polarisée dans le plan d'incidence n'est pas du tout réfléchie, si bien que la lumière réfléchie est entièrement polarisée parallèlement à la surface. Les lunettes de soleil polarisantes bloquent cette direction, d'où leur effet contre les reflets sur l'eau et les routes.

Prismes et dispersion

L'indice de réfraction dépend un peu de la longueur d'onde. Pour le verre crown, il vaut environ 1,531 pour la lumière violette à 400 nm et 1,513 pour la rouge à 700 nm : le violet est donc davantage dévié à chaque face d'un prisme, et la lumière blanche s'étale en spectre. La formule de Cauchy, n(λ) = A + B ÷ λ², décrit bien cela dans le visible, et c'est celle qu'utilise la simulation. La déviation d'un faisceau par un prisme est minimale quand il le traverse symétriquement, et ce minimum donne l'indice : n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2), avec A l'angle au sommet. Pour un prisme en verre crown de 60°, δ_min vaut environ 38,6°.

Fibres optiques

Une fibre piège la lumière par réflexion totale interne : un cœur de verre entouré d'une gaine d'indice un peu plus faible. La lumière qui entre par l'extrémité dans l'angle d'acceptance frappe la paroi chaque fois au-delà de l'angle critique et est guidée sur des kilomètres. L'ouverture numérique vaut NA = √(n_cœur² − n_gaine²) = sin θ_max (dans l'air). Un cœur à 1,47 dans une gaine à 1,455 donne NA = 0,21 et un angle d'acceptance d'environ 12°.

Utiliser la simulation

Dans le Simulateur de réfraction et de réflexion totale, choisissez les deux matériaux et réglez l'angle. Le faisceau, son faible reflet et la normale sont tracés, et les points qui parcourent le faisceau ralentissent du facteur n dans chaque matériau. Le graphique trace la part réfléchie en fonction de l'angle pour les deux polarisations, avec l'angle actuel, l'angle de Brewster et l'angle critique s'il existe. Essayez :

• De l'eau vers l'air, en balayant l'angle : le faisceau réfracté se couche sur la surface et disparaît à 48,6°.
• Le prisme en lumière blanche : lisez la déviation minimale, remplacez le verre crown par du flint et voyez le spectre s'élargir.
• La fibre à 30° puis à 80°, avec de l'eau autour du verre : au-delà de l'angle d'acceptance, la lumière s'échappe par le côté.

Ce que le modèle suppose

• Des rayons. La lumière est traitée comme des rayons fins qui vont en ligne droite. C'est l'optique géométrique, exacte tant que tout ce que la lumière rencontre est bien plus grand que sa longueur d'onde (environ un demi-micromètre).
• Des frontières planes, propres et nettes entre deux matériaux homogènes et transparents, sans absorption ni diffusion à l'intérieur. La lumière qui n'est pas réfléchie est entièrement transmise.
• Une lumière non polarisée pour la part réfléchie, moyenne des deux polarisations ; le graphique montre chacune séparément.
• Des indices tirés de la formule de Cauchy, ajustés sur des valeurs typiques de chaque matériau à 20 °C. Les vrais verres varient selon le type et le lot à la troisième décimale.
• Seul le faisceau principal est suivi à travers le prisme ou la fibre, plus le premier reflet. Chaque surface renvoie en réalité quelques pour cent de plus, ce qui crée de faibles faisceaux fantômes que la simulation ne trace pas.
• La fibre est le cœur placé dans le premier matériau choisi, qui tient lieu de gaine ; avec de l'air autour, l'angle d'acceptance vaut donc 90°. Choisissez de l'eau autour du verre pour voir un angle d'acceptance réaliste et limité.

Cas limites

• θ₁ = 0 : le faisceau passe sans se briser, et la part réfléchie est minimale pour ce couple de matériaux.
• Indices égaux : rien ne se passe à la frontière, ni déviation ni reflet. Une baguette de verre disparaît dans une huile de même indice, une astuce pour vérifier l'indice d'un verre.
• Exactement à l'angle critique, le rayon réfracté longe la surface et ne transporte aucune énergie ; un cheveu au-delà, la réflexion est totale.
• Près de 90° (incidence rasante), presque toute la lumière est réfléchie par n'importe quelle surface, même de l'air vers le verre ; c'est pourquoi une route ou un lac ressemblent à un miroir vus en enfilade.
• Prisme à angle au sommet très ouvert ou indice élevé : le faisceau atteint la seconde face au-delà de l'angle critique et repart dans le prisme au lieu de sortir, et il n'y a pas de déviation minimale.

Où le modèle cesse d'être juste

• Les petits objets. Fentes, réseaux, gouttelettes et fibres larges de quelques longueurs d'onde diffractent la lumière, ce que les rayons ne savent pas décrire ; le Simulateur de l'expérience des fentes de Young montre l'image ondulatoire. Les vraies fibres monomodes des télécoms ont un cœur d'environ 9 µm et doivent être traitées comme des guides d'onde.
• La réflexion totale frustrée. Même en réflexion totale, une faible onde évanescente s'étend d'environ une longueur d'onde au-delà de la surface. Approchez un autre verre à cette distance et la lumière passe par effet tunnel, ce que l'optique des rayons juge impossible.
• Les matériaux absorbants et métalliques ont un indice complexe, et les formules de Fresnel simples utilisées ici ne s'y appliquent pas. Les couches d'une fraction de longueur d'onde, comme les traitements antireflet, agissent par interférence, que la simulation n'inclut pas.
• Les longueurs d'onde hors du visible. La formule de Cauchy échoue près des bandes d'absorption, dans l'ultraviolet et l'infrarouge, où l'indice change brutalement ; on y utilise l'équation de Sellmeier.
• Les milieux non homogènes. De l'air à température variable, comme au-dessus d'une route chaude, a un indice qui change progressivement : la lumière s'y courbe au lieu de se briser sur une surface, ce qui produit des mirages. La simulation n'a que des frontières nettes.
• Les cristaux comme la calcite sont biréfringents : leur indice dépend de la polarisation et de la direction, et un rayon se divise en deux.

Outils associés

Le Simulateur de lentilles et de miroirs utilise la réfraction sur des surfaces courbes pour former des images, avec la relation de conjugaison des lentilles minces détaillée.