スネルの法則と全反射をわかりやすく解説（臨界角つき）

光が曲がる理由

光はガラスや水の中では空気中より遅く進みます。どれだけ遅いかを表すのが屈折率 n で、屈折率 n の物質の中で光は c ÷ n の速さで進みます。水 (n = 1.333) の中では、1 秒に 300,000 km ではなく約 225,000 km しか進みません。光線が境界を斜めに横切ると、片側が先に遅い物質に入って先に減速するので、光線の向きが変わります。行進する列の一方の端がぬかるみに踏み込むと列が曲がるのと同じです。この向きの変化が屈折です。

スネルの法則

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

θ₁ は入射角、θ₂ は屈折角で、どちらも面ではなく法線 (面に垂直な線) から測ります。
より密な物質に入るとき (n₂ > n₁) 光線は法線側に曲がり、そこから出るときは法線から離れる向きに曲がります。
正面から当たる光線 (θ₁ = 0) はまっすぐ進み、遅くなるだけです。

計算例

空気中のレーザーが、法線から 40° の角度でクラウンガラス (n = 1.517) のブロックに当たるとします。

sin θ₂ = (1.000 ÷ 1.517) × sin 40° = 0.659 × 0.643 = 0.424。
θ₂ = arcsin 0.424 = 25.1°。

光がすべて入るわけではありません。反射される割合はフレネルの式で求まり、空気からこのガラスへ 40° で当たる場合は約 4.8%、正面からなら ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4.2% です。窓ガラスは面が 2 つあるので約 8% を反射し、夜にうっすら映り込みが見えるのはこのためです。

臨界角と全反射

密な物質から疎な物質へ進むと、屈折光は法線から離れる向きに曲がり、角度が十分大きいと 90° を超えて出ていかなければならなくなります。それはできないので、光はまったく出ていかず、すべて反射します。これが始まる角度が臨界角です。

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (n₁ > n₂ のときだけ)

水から空気へ: θ_c = arcsin(1 ÷ 1.333) = 48.6°。水中から水面を見上げると、この角度より外側は鏡になります。
クラウンガラスから空気へ: 41.2°。そのため 45° のプリズムは光を完全に反射し、銀めっきの鏡より優れています。双眼鏡や潜望鏡はこうして光路を折り曲げます。
ダイヤモンドから空気へ: 24.4°。よくカットされたダイヤモンドに入った光の大部分は中に閉じ込められ、何度も反射してから上面から出ていきます。これが輝きの理由です。

臨界角より手前でも反射の割合は急に増えます。ガラスから空気へは、正面で 4%、35° で約 10%、41.2° で 100% です。

ブルースター角

tan θ_B = n₂ ÷ n₁ となる角度 (空気からクラウンガラスへは 56.6°、水面では 53.1°) では、入射面内で偏光した光がまったく反射しないので、反射光は面に平行な向きに完全に偏光します。偏光サングラスはこの向きの光をさえぎるので、水面や道路のぎらつきを抑えられます。

プリズムと分散

屈折率は波長によってわずかに変わります。クラウンガラスでは 400 nm の紫の光で約 1.531、700 nm の赤い光で 1.513 なので、プリズムの各面で紫のほうが強く曲がり、白色光はスペクトルに広がります。コーシーの式 n(λ) = A + B ÷ λ² は可視域でこれをよく表し、シミュレーションもこの式を使っています。プリズムを通る光線の偏角は、光線がプリズムを対称に通るとき最小になり、その最小値から屈折率が求まります: n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2)。A は頂角です。頂角 60° のクラウンガラスのプリズムでは、δ_min は約 38.6° です。

光ファイバー

光ファイバーは全反射で光を閉じ込めます。ガラスのコアの周りを、屈折率がわずかに低いクラッドが包んでいます。受光角の内側で端から入った光は毎回臨界角を超える角度で側面に当たり、何キロメートルも運ばれます。開口数は NA = √(n_コア² − n_クラッド²) = sin θ_max (空気中) です。屈折率 1.455 のクラッドに 1.47 のコアなら NA = 0.21、受光角は約 12° になります。

シミュレーションの使い方

屈折と全反射のシミュレーターで 2 つの物質を選び、角度を設定します。光線、弱い反射光、法線が描かれ、光線上を進む点は各物質の中で n 分の 1 の速さになります。グラフは 2 つの偏光それぞれについて反射の割合を角度に対して描き、現在の角度、ブルースター角、臨界角 (ある場合) を示します。次のことを試してください。

水から空気へにして角度を往復させる: 屈折光が水面に沿って寝ていき、48.6° で消えます。
白色光でプリズム: 最小偏角を読み取り、クラウンガラスをフリントガラスに替えるとスペクトルが広がります。
ガラスの周りを水にして、ファイバーを 30°、次に 80° にする: 受光角を超えると光が側面から逃げます。

モデルの前提

光線。 光をまっすぐ進む細い光線として扱います。これは幾何光学で、光が出会うものが波長 (約 0.5 µm) よりずっと大きければ正確です。
平らで、きれいで、くっきりした境界が、一様で透明な 2 つの物質の間にあり、内部での吸収や散乱はないとしています。反射されなかった光はすべて透過します。
反射の割合は無偏光の光として、2 つの偏光の平均をとっています。グラフにはそれぞれの偏光も別に表示します。
屈折率はコーシーの式で、20 °C での各物質の代表的な値に合わせています。実際のガラスは種類やロットによって小数第 3 位が変わります。
追跡するのは主な光線だけで、プリズムやファイバーの中では最初の反射光も描きます。実際には各面がさらに数 % を反射し、弱いゴースト光ができますが、シミュレーションでは描きません。
ファイバーは最初に選んだ物質の中に置いたコアで、その物質がクラッドの役をします。周りが空気だと受光角は 90° になります。現実的な限られた受光角を見るには、ガラスの周りを水にしてください。

境界的なケース

θ₁ = 0: 光線は曲がらずに通り抜け、その物質の組み合わせで反射の割合が最小になります。
屈折率が等しい: 境界では何も起こらず、曲がりも反射もありません。同じ屈折率の油に入れたガラス棒は見えなくなり、ガラスの屈折率を確かめる方法として使われます。
ちょうど臨界角では屈折光が面に沿って進み、エネルギーを運びません。わずかでも超えると全反射です。
90° に近い角度 (すれすれの入射) では、空気からガラスへでも、どんな面でもほとんどの光が反射します。道路や湖を遠くまで見通すと鏡のように見えるのはこのためです。
頂角が大きいプリズムや屈折率が高い場合: 光線は 2 番目の面に臨界角を超えて当たり、外に出ずにプリズムの中へ反射されます。この場合、最小偏角はありません。

モデルが成り立たなくなる場合

小さいもの。 波長の数倍程度の幅しかないスリット、回折格子、水滴、ファイバーでは光が回折し、光線では表せません。二重スリット実験シミュレーターで波としての姿を見られます。通信用の実際のシングルモードファイバーはコアが約 9 µm で、導波路として扱う必要があります。
全反射の減衰 (トンネル効果)。 全反射のときでも、弱いエバネッセント波が面から約 1 波長先まで染み出しています。そこまで別のガラスを近づけると光がトンネルして通り抜けます。光線光学ではありえないことです。
光を吸収する物質や金属は複素屈折率をもち、ここで使っている単純なフレネルの式は当てはまりません。反射防止膜のような波長の何分の 1 かの厚さの膜は干渉で働きますが、シミュレーションには含まれていません。
可視光以外の波長。 紫外や赤外の吸収帯の近くでは屈折率が急に変わり、コーシーの式は使えません。そこではセルマイヤーの式を使います。
一様でない物質。 熱い道路の上のように温度の違う空気では屈折率が少しずつ変わり、光は 1 つの面で折れ曲がるのではなく、曲線を描いて進み、蜃気楼ができます。シミュレーションにはくっきりした境界しかありません。
方解石などの結晶は複屈折性があり、屈折率が偏光と向きによって変わるので、1 本の光線が 2 本に分かれます。

スネルの法則、屈折と全反射

光が曲がる理由