Lei de Snell, refração e reflexão interna total

Por que a luz se desvia

A luz viaja mais devagar no vidro ou na água do que no ar. O índice de refração n diz quanto: num material de índice n a luz anda a c ÷ n, então na água (n = 1,333) ela percorre cerca de 225.000 km por segundo em vez de 300.000. Quando um feixe cruza uma fronteira inclinado, um lado chega primeiro ao material mais lento e desacelera primeiro, e o feixe gira, como uma fila de pessoas marchando que vira quando uma ponta pisa na lama. Esse giro é a refração.

A lei de Snell

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

• θ₁ é o ângulo de incidência e θ₂ o de refração, ambos medidos a partir da normal, a linha perpendicular à superfície, e não a partir da superfície.
• Ao entrar num material mais denso (n₂ > n₁) o raio se aproxima da normal; ao sair de um, se afasta.
• Um raio que chega de frente (θ₁ = 0) segue reto, só que mais devagar.

Um exemplo resolvido

Um laser no ar atinge um bloco de vidro crown (n = 1,517) a 40° da normal.

1. sin θ₂ = (1,000 ÷ 1,517) × sen 40° = 0,659 × 0,643 = 0,424.
2. θ₂ = arcsen 0,424 = 25,1°.

Nem toda a luz entra. As equações de Fresnel dão a parte refletida; a 40° do ar para esse vidro é cerca de 4,8 %, e de frente é ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4,2 %. Por isso um vidro de janela, com duas faces, reflete cerca de 8 % e à noite mostra um reflexo fraco.

O ângulo crítico e a reflexão interna total

Ao passar de um material mais denso para um menos denso, o raio refratado se afasta da normal, e com um ângulo grande o bastante teria de sair a mais de 90°. Não pode, então nenhuma luz sai e toda ela é refletida. O ângulo em que isso começa é o ângulo crítico:

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (só quando n₁ > n₂)

• Da água para o ar: θ_c = arcsen(1 ÷ 1,333) = 48,6°. Olhando a superfície de baixo d'água, além desse ângulo ela é um espelho.
• Do vidro crown para o ar: 41,2°. Por isso um prisma de 45° reflete a luz por completo, melhor que um espelho prateado, e é assim que binóculos e periscópios dobram o caminho da luz.
• Do diamante para o ar: 24,4°. A maior parte da luz que entra num diamante bem lapidado fica presa e ricocheteia lá dentro antes de sair pelo topo, e daí vem o brilho.

Mesmo antes do ângulo crítico a parte refletida sobe muito: do vidro para o ar é 4 % de frente, cerca de 10 % a 35° e 100 % a 41,2°.

O ângulo de Brewster

Com tan θ_B = n₂ ÷ n₁ (56,6° do ar para o vidro crown, 53,1° sobre a água) a luz polarizada no plano de incidência não é refletida, então a luz refletida fica totalmente polarizada paralela à superfície. Óculos de sol polarizados bloqueiam essa direção, e por isso cortam o brilho da água e das estradas.

Prismas e dispersão

O índice de refração depende um pouco do comprimento de onda. Para o vidro crown ele é cerca de 1,531 para a luz violeta a 400 nm e 1,513 para a vermelha a 700 nm, então o violeta se desvia mais em cada face de um prisma e a luz branca se abre num espectro. A fórmula de Cauchy, n(λ) = A + B ÷ λ², descreve isso bem no visível, e é a que a simulação usa. O desvio de um feixe por um prisma é mínimo quando ele o atravessa de forma simétrica, e esse mínimo dá o índice: n = sen((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sen(A ÷ 2), com A o ângulo do vértice. Para um prisma de vidro crown de 60°, δ_min é cerca de 38,6°.

Fibras ópticas

Uma fibra prende a luz por reflexão interna total: um núcleo de vidro com uma casca de índice um pouco menor em volta. A luz que entra pela ponta dentro do ângulo de aceitação bate na lateral sempre além do ângulo crítico e é levada por quilômetros. A abertura numérica é NA = √(n_núcleo² − n_casca²) = sen θ_max (no ar). Um núcleo de 1,47 numa casca de 1,455 dá NA = 0,21 e um ângulo de aceitação de cerca de 12°.

Como usar a simulação

No Simulador de refração e reflexão interna total, escolha os dois materiais e ajuste o ângulo. O feixe, seu reflexo fraco e a normal são desenhados, e os pontos que correm pelo feixe desaceleram pelo fator n em cada material. O gráfico mostra a parte refletida em função do ângulo para as duas polarizações, com o ângulo atual, o de Brewster e o crítico, se houver. Experimente:

• Água para ar, e varra o ângulo: veja o feixe refratado se deitar na superfície e sumir a 48,6°.
• O prisma com luz branca: leia o desvio mínimo, troque o vidro crown pelo flint e veja o espectro se alargar.
• A fibra a 30° e depois a 80° com água em volta do vidro: além do ângulo de aceitação a luz escapa pela lateral.

O que o modelo supõe

• Raios. A luz é tratada como raios finos que andam em linha reta. É a óptica geométrica, exata quando tudo o que a luz encontra é muito maior que seu comprimento de onda (cerca de meio micrômetro).
• Fronteiras planas, limpas e nítidas entre dois materiais uniformes e transparentes, sem absorção nem espalhamento dentro deles. A luz que não é refletida segue inteira.
• Luz não polarizada para a parte refletida, a média das duas polarizações; o gráfico mostra cada uma separadamente.
• Índices pela fórmula de Cauchy, ajustados a valores típicos de cada material a 20 °C. Vidros reais variam conforme o tipo e o lote na terceira casa decimal.
• Só o feixe principal é seguido pelo prisma ou pela fibra, mais o primeiro reflexo. Cada superfície devolve na verdade alguns por cento a mais, o que cria feixes fantasmas fracos que a simulação não desenha.
• A fibra é o núcleo dentro do primeiro material escolhido, que faz o papel da casca, então com ar em volta o ângulo de aceitação é de 90°. Escolha água em volta do vidro para ver um ângulo de aceitação realista e limitado.

Casos-limite

• θ₁ = 0: o feixe passa sem se desviar, e a parte refletida é a menor para esse par de materiais.
• Índices iguais: nada acontece na fronteira, nem desvio nem reflexo. Uma vareta de vidro some num óleo de mesmo índice, um truque para conferir o índice de um vidro.
• Exatamente no ângulo crítico o raio refratado corre pela superfície e não leva energia; um fio além, a reflexão é total.
• Perto de 90° (incidência rasante) quase toda a luz é refletida por qualquer superfície, até do ar para o vidro, e por isso uma estrada ou um lago parecem um espelho quando olhados ao longo deles.
• Prisma de vértice muito agudo ou índice alto: o feixe chega à segunda face além do ângulo crítico e volta para dentro do prisma em vez de sair, e não há desvio mínimo.

Onde o modelo deixa de valer

• Objetos pequenos. Fendas, redes, gotas e fibras de poucos comprimentos de onda difratam a luz, o que os raios não descrevem; o Simulador do experimento da fenda dupla mostra o quadro ondulatório. Fibras monomodo reais de telecomunicações têm núcleos de cerca de 9 µm e precisam ser tratadas como guias de onda.
• Reflexão interna total frustrada. Mesmo na reflexão total, uma onda evanescente fraca alcança cerca de um comprimento de onda além da superfície. Se outro vidro chegar tão perto, a luz atravessa por tunelamento, o que é impossível na óptica de raios.
• Materiais absorventes e metálicos têm um índice de refração complexo, e as fórmulas simples de Fresnel usadas aqui não valem para eles. Revestimentos de uma fração de comprimento de onda, como os antirreflexo, funcionam por interferência, que a simulação não inclui.
• Comprimentos de onda fora do visível. A fórmula de Cauchy falha perto das bandas de absorção, no ultravioleta e no infravermelho, onde o índice muda bruscamente; ali se usa a equação de Sellmeier.
• Materiais não uniformes. Ar em temperaturas diferentes, como sobre uma estrada quente, tem um índice que muda aos poucos, então a luz se curva em vez de se desviar numa única superfície, criando miragens. A simulação só tem fronteiras nítidas.
• Cristais como a calcita são birrefringentes: seu índice depende da polarização e da direção, e um raio se divide em dois.

Ferramentas relacionadas

O Simulador de lentes e espelhos usa a refração em superfícies curvas para formar imagens, com a equação das lentes delgadas resolvida passo a passo.