Ley de Snell, refracción y reflexión total interna

Por qué se desvía la luz

La luz viaja más despacio en el vidrio o el agua que en el aire. El índice de refracción n dice cuánto: en un material de índice n la luz va a c ÷ n, así que en el agua (n = 1,333) recorre unos 225.000 km por segundo en lugar de 300.000. Cuando un haz cruza una frontera en ángulo, un lado llega antes al material lento y se frena antes, y el haz gira, como una columna que marcha y tuerce cuando un extremo pisa barro. Ese giro es la refracción.

La ley de Snell

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

• θ₁ es el ángulo de incidencia y θ₂ el de refracción, ambos medidos desde la normal, la línea perpendicular a la superficie, no desde la superficie.
• Al entrar en un material más denso (n₂ > n₁) el rayo se acerca a la normal; al salir de uno se aleja.
• Un rayo que llega de frente (θ₁ = 0) sigue recto, solo que más despacio.

Un ejemplo resuelto

Un láser en el aire llega a un bloque de vidrio crown (n = 1,517) a 40° de la normal.

1. sin θ₂ = (1,000 ÷ 1,517) × sin 40° = 0,659 × 0,643 = 0,424.
2. θ₂ = arcsen 0,424 = 25,1°.

No entra toda la luz. Las ecuaciones de Fresnel dan la parte reflejada; a 40° del aire a este vidrio es cerca del 4,8 %, y de frente es ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4,2 %. Por eso un cristal de ventana, con dos caras, refleja cerca del 8 % y de noche muestra un reflejo tenue.

El ángulo crítico y la reflexión total interna

Al pasar de un material más denso a uno menos denso, el rayo refractado se aleja de la normal, y con un ángulo suficientemente grande tendría que salir a más de 90°. No puede, así que no sale nada de luz y toda se refleja. El ángulo donde empieza esto es el ángulo crítico:

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (solo cuando n₁ > n₂)

• Del agua al aire: θ_c = arcsen(1 ÷ 1,333) = 48,6°. Si miras la superficie desde debajo del agua, más allá de ese ángulo es un espejo.
• Del vidrio crown al aire: 41,2°. Por eso un prisma de 45° refleja la luz por completo, mejor que un espejo plateado, y así pliegan su camino óptico los prismáticos y los periscopios.
• Del diamante al aire: 24,4°. La mayor parte de la luz que entra en un diamante bien tallado queda atrapada y rebota dentro antes de salir por arriba, y de ahí viene su brillo.

Incluso antes del ángulo crítico la parte reflejada sube muy deprisa: del vidrio al aire es el 4 % de frente, cerca del 10 % a 35° y el 100 % a 41,2°.

El ángulo de Brewster

Con tan θ_B = n₂ ÷ n₁ (56,6° del aire al vidrio crown, 53,1° sobre el agua) la luz polarizada en el plano de incidencia no se refleja en absoluto, así que la luz reflejada queda totalmente polarizada paralela a la superficie. Las gafas de sol polarizadas bloquean esa dirección, y por eso quitan el brillo del agua y de las carreteras.

Prismas y dispersión

El índice de refracción depende un poco de la longitud de onda. Para el vidrio crown es de unos 1,531 para la luz violeta a 400 nm y 1,513 para la roja a 700 nm, así que el violeta se desvía más en cada cara de un prisma y la luz blanca se abre en un espectro. La fórmula de Cauchy, n(λ) = A + B ÷ λ², lo describe bien en el visible, y es la que usa la simulación. La desviación de un haz al cruzar un prisma es mínima cuando lo atraviesa de forma simétrica, y ese mínimo da el índice: n = sen((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sen(A ÷ 2), con A el ángulo del vértice. Para un prisma de vidrio crown de 60°, δ_min es de unos 38,6°.

Fibras ópticas

Una fibra atrapa la luz por reflexión total interna: un núcleo de vidrio con un revestimiento de índice algo menor alrededor. La luz que entra por el extremo dentro del ángulo de aceptación choca con el lateral siempre más allá del ángulo crítico y se transporta durante kilómetros. La apertura numérica es NA = √(n_núcleo² − n_{revestimiento}²) = sen θ_max (en aire). Un núcleo de 1,47 en un revestimiento de 1,455 da NA = 0,21 y un ángulo de aceptación de unos 12°.

Cómo usar la simulación

En el Simulador de refracción y reflexión total interna, elige los dos materiales y fija el ángulo. Se dibujan el haz, su reflejo tenue y la normal, y los puntos que recorren el haz se frenan en el factor n en cada material. El gráfico traza la parte reflejada frente al ángulo para ambas polarizaciones, con el ángulo actual, el de Brewster y el crítico, si existe. Prueba esto:

• Agua hacia aire, y barre el ángulo: mira cómo el haz refractado se tumba sobre la superficie y desaparece a 48,6°.
• El prisma con luz blanca: lee la desviación mínima, cambia el vidrio crown por flint y mira cómo se ensancha el espectro.
• La fibra a 30° y luego a 80° con agua alrededor del vidrio: más allá del ángulo de aceptación la luz escapa por el lateral.

Qué supone el modelo

• Rayos. La luz se trata como rayos finos que van en línea recta. Es la óptica geométrica, exacta cuando todo lo que encuentra la luz es mucho mayor que su longitud de onda (alrededor de medio micrómetro).
• Fronteras planas, limpias y nítidas entre dos materiales uniformes y transparentes, sin absorción ni dispersión dentro. La luz que no se refleja sigue adelante entera.
• Luz no polarizada para la parte reflejada, la media de las dos polarizaciones; el gráfico muestra cada una por separado.
• Índices según la fórmula de Cauchy, ajustados a valores típicos de cada material a 20 °C. Los vidrios reales varían según el tipo y el lote en la tercera cifra decimal.
• Solo se sigue el haz principal por el prisma o la fibra, más el primer reflejo. Cada superficie devuelve en realidad un pequeño porcentaje más, lo que crea haces fantasma tenues que la simulación no dibuja.
• La fibra es el núcleo dentro del material elegido en primer lugar, que hace de revestimiento, así que con aire alrededor el ángulo de aceptación es de 90°. Elige agua alrededor del vidrio para ver un ángulo de aceptación realista y limitado.

Casos límite

• θ₁ = 0: el haz pasa sin desviarse, y la parte reflejada es la mínima para ese par de materiales.
• Índices iguales: no pasa nada en la frontera, ni desviación ni reflejo. Una varilla de vidrio desaparece en un aceite del mismo índice, un truco para comprobar el índice de un vidrio.
• Justo en el ángulo crítico el rayo refractado corre por la superficie y no lleva energía; un pelo más allá, la reflexión es total.
• Cerca de 90° (incidencia rasante) casi toda la luz se refleja en cualquier superficie, incluso del aire al vidrio, y por eso una carretera o un lago parecen un espejo cuando se miran a lo largo.
• Prisma de vértice muy agudo o índice alto: el haz llega a la segunda cara más allá del ángulo crítico y vuelve al prisma en vez de salir, y no hay desviación mínima.

Dónde deja de valer el modelo

• Objetos pequeños. Rendijas, redes, gotas y fibras de pocas longitudes de onda difractan la luz, algo que los rayos no pueden describir; el Simulador del experimento de la doble rendija muestra la imagen ondulatoria. Las fibras monomodo reales de telecomunicaciones tienen núcleos de unos 9 µm y deben tratarse como guías de onda.
• Reflexión total interna frustrada. Incluso en la reflexión total, una onda evanescente débil llega a una longitud de onda más allá de la superficie. Si se acerca otro vidrio a esa distancia, la luz pasa por efecto túnel, algo imposible en la óptica de rayos.
• Materiales absorbentes y metálicos tienen un índice de refracción complejo, y las fórmulas de Fresnel sencillas usadas aquí no valen para ellos. Los recubrimientos de una fracción de longitud de onda, como los antirreflejo, funcionan por interferencia, que la simulación no incluye.
• Longitudes de onda fuera del visible. La fórmula de Cauchy falla cerca de las bandas de absorción, en el ultravioleta y el infrarrojo, donde el índice cambia bruscamente; allí se usa la ecuación de Sellmeier.
• Materiales no uniformes. El aire a distintas temperaturas, como sobre una carretera caliente, tiene un índice que cambia poco a poco, así que la luz se curva en vez de desviarse en una sola superficie y aparecen espejismos. La simulación solo tiene fronteras nítidas.
• Cristales como la calcita son birrefringentes: su índice depende de la polarización y la dirección, y un rayo se divide en dos.

Herramientas relacionadas

El Simulador de lentes y espejos usa la refracción en superficies curvas para formar imágenes, con la ecuación de las lentes delgadas resuelta paso a paso.