La distribución binomial, la campana de Gauss y el tablero de Galton

El tablero

Un tablero de Galton es un tablero de clavos en filas alternas sobre una fila de casillas. Una bola soltada arriba choca con un clavo en cada fila y va a la izquierda o a la derecha, y cae en la casilla que corresponde a cuántas veces fue a la derecha. Francis Galton construyó uno en la década de 1870 para mostrar cómo surge el orden del azar: el camino de cada bola es imprevisible, pero miles de bolas forman siempre el mismo montón en forma de campana.

La fórmula binomial

Con n filas y una probabilidad p de ir a la derecha en cada clavo, la probabilidad de caer en la casilla k (k derechas de n) es

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) cuenta los caminos que terminan en la casilla k, y p^k(1 − p)^{n − k} es la probabilidad de cada uno.

Ejemplo: 12 filas, p = 0,5. La casilla central, k = 6, tiene C(12, 6) = 924 caminos, cada uno con probabilidad 0,5¹² = 1 ÷ 4.096, así que P(6) = 924 ÷ 4.096 = 22,6 %. Una casilla del extremo tiene un camino: 1 ÷ 4.096 = 0,024 %. De 1.000 bolas, unas 226 caerán en el centro y ninguna, o quizá una, en cada extremo.

Media y desviación estándar

μ = n p y σ = √(n p (1 − p))

Para 12 filas con p = 0,5, μ = 6 y σ = √3 = 1,73. En una distribución normal el 68 % queda a menos de una σ de la media y el 95 % a menos de dos; en este tablero las casillas 5 a 7 reciben el 61 % de las bolas, porque las casillas son números enteros y una σ no llega del todo a las casillas 4 y 8. σ crece solo como √n, así que un tablero con cuatro veces más filas tiene un montón el doble de ancho, pero respecto al ancho del tablero es la mitad de ancho.

La aproximación normal

Para n grande la binomial se parece mucho a la curva normal con la misma media y desviación estándar, f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π)). Una regla común es que funciona cuando n p y n (1 − p) valen ambos al menos 5 (algunos libros dicen 10). Con p = 0,1 y 12 filas, n p = 1,2: el montón se pega al borde izquierdo y queda torcido (asimetría (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), y la campana simétrica encaja mal.

El teorema central del límite

Cada rebote añade un pequeño paso aleatorio, y la casilla es su suma. El teorema central del límite dice que la suma de muchas cantidades aleatorias independientes se acerca a una distribución normal sea cual sea la distribución de cada una, siempre que tenga una dispersión finita. Los dados lo muestran bien. Un dado es plano: cada cara 1 de 6. Dos dados forman un triángulo con el pico en 7. La suma de n dados tiene media 3,5 n y varianza 35 n ÷ 12, y con cinco o seis dados cuesta distinguirla de una campana. Por eso las estaturas, los errores de medida y las notas de los exámenes, cada uno suma de muchas influencias pequeñas, parecen tan a menudo normales.

Comprobar un montón: chi cuadrado

¿Es un montón compatible con la binomial, o el tablero está sesgado? Compara los recuentos observados O con los esperados E = N × P(k) usando

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

Une casillas vecinas hasta que cada una espere al menos 5 bolas, y usa casillas − 1 grados de libertad. El valor p es la probabilidad de un χ² así de grande si el tablero es justo. Ejemplo: 200 bolas en un tablero de 4 filas con p = 0,5 esperan 12,5, 50, 75, 50, 12,5. Se observan 15, 44, 80, 47, 14: χ² = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 con 4 grados de libertad, p = 0,75, totalmente compatible con el azar.

Cómo usar la simulación

El Simulador del tablero de Galton deja caer bolas sin parar. Las barras muestran la fracción en cada casilla, la línea discontinua la distribución exacta y la curva verde la normal. Bajo la imagen están la media y la desviación estándar muestrales junto a las esperadas, y la prueba de chi cuadrado. Cosas que probar:

• Mira la media muestral en el gráfico a lo largo del tiempo: al principio oscila y luego se asienta hacia μ, con un error que encoge como σ ÷ √N.
• Pon p en 0,15 con 6 filas: el montón queda torcido y la curva normal no lo sigue. Sube a 20 filas y vuelve a ser una campana.
• Cambia a dados y lleva n de 1 a 6: plano, triángulo y luego campana.
• Déjalo correr y fíjate en el valor p: en un tablero justo se mueve entre 0 y 1 y baja de 0,05 más o menos una vez de cada veinte.

Qué supone el modelo

• Rebotes independientes con la misma p. Cada clavo es un nuevo lanzamiento de moneda, sin influencia del anterior. Esa es la definición de un proceso binomial.
• Exactamente un rebote por fila. La bola siempre choca con el clavo siguiente y se mueve media separación a la izquierda o a la derecha; nunca se salta una fila ni rebota dos veces.
• Las bolas no interactúan. Se atraviesan y nunca se atascan ni se apartan unas a otras.
• Dados justos, cada cara exactamente 1 de 6, en el modo de dados.
• Un generador de números pseudoaleatorios hace de azar. Es mucho más uniforme de lo que necesita cualquier tablero real.

Casos límite

• Una fila es un solo lanzamiento de moneda: dos casillas, con fracciones 1 − p y p, y la campana no tiene sentido.
• p cerca de 0 o 1: casi todas las bolas siguen el mismo camino del borde; la distribución es asimétrica y se parece más a una de Poisson con media n p.
• Pocas bolas: con menos de unas decenas el montón es irregular y la prueba de chi cuadrado tiene muy pocas bolas por casilla; espera a tener al menos dos casillas con 5 esperadas.
• Un dado da una distribución plana sin pico, lo contrario de una campana, que es el punto de partida del teorema central del límite.

Dónde deja de valer el modelo

• Los tableros de Galton reales no son ideales. Una bola tiene inercia: tras ir a la derecha es algo más probable que vuelva a ir a la derecha, así que los rebotes están correlacionados y el montón sale más ancho que la binomial. Las bolas también pueden saltarse clavos o atascarse.
• No todo es una suma. Las cantidades que salen de multiplicar muchos factores, como los ingresos o los tamaños de partícula, son lognormales, asimétricas con una cola larga; el teorema central del límite se aplica a sus logaritmos.
• Colas pesadas. Si los pasos individuales no tienen varianza finita (una distribución de Cauchy, por ejemplo), su suma nunca se vuelve normal.
• Dependencia. Los movimientos de la bolsa, las epidemias y otros procesos en los que un suceso cambia el siguiente no siguen la binomial; tratarlos como monedas independientes subestima los extremos.
• La curva normal es continua y no tiene límites, pero las casillas son números enteros de 0 a n; muy lejos en las colas da probabilidades pequeñas pero imposibles por debajo de 0 o por encima de n.

Herramientas relacionadas

Calcula la media, la desviación estándar y el error estándar de tus propios datos con la Calculadora de desviación estándar (y Desviación estándar y error estándar), lanza monedas de verdad con Cara o cruz y dados con el Lanzador de dados; Probabilidad de los dados: las opciones de cada tirada calcula las probabilidades a mano.