이항 분포와 골턴 보드: 동전 던지기에서 종 모양 곡선까지

보드

골턴 보드는 엇갈린 줄로 박은 못 아래에 칸이 한 줄로 놓인 판입니다. 위에서 떨어뜨린 공은 줄마다 못에 부딪혀 왼쪽이나 오른쪽으로 가고, 오른쪽으로 간 횟수에 해당하는 칸에 떨어집니다. 프랜시스 골턴은 1870년대에 우연에서 질서가 생기는 모습을 보여 주려고 이것을 만들었습니다. 공 하나하나의 경로는 예측할 수 없지만, 수천 개의 공은 언제나 같은 종 모양 더미를 이룹니다.

이항 공식

줄 수가 n이고 못마다 오른쪽으로 갈 확률이 p일 때, 칸 k에 떨어질(n번 중 k번 오른쪽) 확률은

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

입니다. C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!)는 칸 k에서 끝나는 경로의 수이고, p^k(1 − p)^{n − k}는 각 경로의 확률입니다.

예시: 12줄, p = 0.5. 가운데 칸 k = 6으로 가는 경로는 C(12, 6) = 924가지이고 각각의 확률은 0.5¹² = 1 ÷ 4,096이므로 P(6) = 924 ÷ 4,096 = 22.6%입니다. 끝 칸으로 가는 경로는 하나뿐이라 1 ÷ 4,096 = 0.024%입니다. 공 1,000개라면 가운데에 약 226개, 양 끝에는 0개나 많아야 1개가 들어갑니다.

평균과 표준편차

μ = n p, σ = √(n p (1 − p))

12줄, p = 0.5이면 μ = 6, σ = √3 = 1.73입니다. 정규 분포에서는 평균에서 ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%가 들어가지만, 이 보드에서는 칸 5~7에 공의 61%가 들어갑니다. 칸은 정수이고 1σ가 칸 4와 8에 조금 못 미치기 때문입니다. σ는 √n에 비례해서만 커지므로 줄을 네 배로 늘리면 더미의 폭은 두 배가 되지만, 보드 폭에 비하면 절반이 됩니다.

정규 근사

n이 크면 이항 분포는 평균과 표준편차가 같은 정규 곡선 f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π))에 가까워집니다. 흔히 쓰는 기준은 n p와 n (1 − p)가 모두 5 이상(책에 따라 10 이상)일 때입니다. p = 0.1, 12줄이면 n p = 1.2여서 더미가 왼쪽 끝에 몰려 치우치고(왜도 (1 − 2p) ÷ σ = 0.77), 좌우 대칭인 종 모양이 잘 맞지 않습니다.

중심 극한 정리

튕길 때마다 작은 무작위 걸음이 하나씩 더해지고, 칸은 그 합입니다. 중심 극한 정리에 따르면 서로 독립인 많은 무작위 양의 합은 각각의 분포가 무엇이든 퍼짐이 유한하면 정규 분포에 가까워집니다. 주사위가 좋은 예입니다. 주사위 하나는 평평해서 모든 눈이 6분의 1입니다. 두 개면 7을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 됩니다. n개의 눈의 합은 평균 3.5 n, 분산 35 n ÷ 12이며, 다섯이나 여섯 개면 종 모양과 거의 구별할 수 없습니다. 키, 측정 오차, 시험 점수처럼 작은 영향이 많이 더해진 값이 자주 정규 분포처럼 보이는 이유입니다.

더미 검정: 카이제곱

더미가 이항 분포와 맞을까요, 아니면 보드가 치우쳤을까요? 관측 개수 O와 기대 개수 E = N × P(k)를 다음 식으로 비교합니다.

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

칸마다 기대 개수가 5 이상이 될 때까지 이웃 칸과 합치고, 자유도는 칸 수 − 1로 둡니다. p값은 보드가 공정할 때 이만큼 큰 χ²가 나올 확률입니다. 예시: p = 0.5인 4줄 보드에 공 200개를 떨어뜨리면 기대 개수는 12.5, 50, 75, 50, 12.5입니다. 관측이 15, 44, 80, 47, 14라면 χ² = 0.50 + 0.72 + 0.33 + 0.18 + 0.18 = 1.91, 자유도 4에서 p = 0.75로, 충분히 우연의 범위입니다.

시뮬레이션 사용법

골턴 보드 시뮬레이터는 공을 계속 떨어뜨립니다. 막대는 칸마다의 비율, 점선은 정확한 분포, 초록 곡선은 정규 분포입니다. 그림 아래에는 표본 평균과 표본 표준편차가 기대값과 나란히 있고, 카이제곱 검정 결과도 나옵니다. 해 볼 만한 것:

시간에 따른 그래프에서 표본 평균 보기: 처음에는 흔들리다가 μ로 안정되며, 오차는 σ ÷ √N처럼 줄어듭니다.
6줄에서 p를 0.15로: 더미가 치우치고 정규 곡선이 빗나갑니다. 20줄로 늘리면 다시 종 모양이 됩니다.
주사위로 바꾸고 n을 1부터 6까지: 평평함, 삼각형, 그리고 종 모양.
계속 돌리며 p값 보기: 공정한 보드라면 0과 1 사이를 오가며 스무 번에 한 번쯤은 0.05 아래로 내려갑니다.

모형의 가정

튕김은 독립이고 p는 어디서나 같다. 못마다 앞과 상관없는 새 동전 던지기입니다. 이것이 이항 과정의 정의입니다.
줄마다 정확히 한 번 튕긴다. 공은 항상 다음 못에 부딪혀 못 간격의 절반만큼 왼쪽이나 오른쪽으로 옮겨 갑니다. 줄을 건너뛰거나 두 번 튕기지 않습니다.
공끼리는 영향을 주지 않는다. 공은 서로 통과하며 끼거나 밀치지 않습니다.
주사위는 공정하며, 주사위 모드에서 모든 눈이 정확히 6분의 1입니다.
유사 난수 생성기가 우연을 대신합니다. 실제 보드에 필요한 것보다 훨씬 균일합니다.

경계 사례

한 줄은 동전 던지기 한 번입니다: 칸은 두 개이고 비율은 1 − p와 p이며, 종 모양 곡선은 의미가 없습니다.
p가 0이나 1에 가까움: 거의 모든 공이 같은 가장자리 경로를 따라가고, 분포는 치우쳐 평균 n p인 푸아송 분포에 가까워집니다.
공이 적음: 수십 개 미만이면 더미가 들쭉날쭉하고 카이제곱 검정에는 칸마다 공이 너무 적습니다. 기대 개수 5인 칸이 둘 이상 생길 때까지 기다립니다.
주사위 하나는 봉우리 없는 평평한 분포로 종 모양과 정반대이며, 바로 그것이 중심 극한 정리의 출발점입니다.

모형이 맞지 않게 되는 경우

실제 골턴 보드는 이상적이지 않습니다. 공에는 관성이 있어 오른쪽으로 간 뒤에는 다시 오른쪽으로 갈 가능성이 조금 더 크므로, 튕김 사이에 상관이 생겨 더미가 이항 분포보다 넓어집니다. 공이 못을 건너뛰거나 끼기도 합니다.
모든 것이 합은 아닙니다. 소득이나 입자 크기처럼 많은 요인의 곱으로 정해지는 양은 긴 꼬리를 가진 치우친 로그 정규 분포를 따르며, 중심 극한 정리는 그 로그에 적용됩니다.
두꺼운 꼬리. 각 걸음의 분산이 유한하지 않으면(예: 코시 분포) 합은 결코 정규 분포가 되지 않습니다.
의존성. 주가 변동, 감염병 유행처럼 한 사건이 다음 사건을 바꾸는 과정은 이항 분포를 따르지 않으며, 독립인 동전 던지기로 다루면 극단값을 과소평가하게 됩니다.
정규 곡선은 연속이고 끝이 없지만, 칸은 0부터 n까지의 정수입니다. 꼬리 먼 곳에서는 0보다 작거나 n보다 큰, 작지만 불가능한 확률을 줍니다.

이항 분포, 종 모양 곡선과 골턴 보드

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