Binomialverteilung und Galtonbrett: vom Münzwurf zur Glockenkurve

Das Brett

Ein Galtonbrett ist ein Brett mit Stiften in versetzten Reihen über einer Reihe von Fächern. Eine oben eingeworfene Kugel trifft in jeder Reihe einen Stift, springt nach links oder rechts und landet in dem Fach, das zählt, wie oft sie nach rechts ging. Francis Galton baute in den 1870er-Jahren eines, um zu zeigen, wie aus Zufall Ordnung entsteht: Der Weg jeder Kugel ist unvorhersehbar, aber Tausende Kugeln bilden immer denselben glockenförmigen Haufen.

Die Binomialformel

Bei n Reihen und einer Wahrscheinlichkeit p, an jedem Stift nach rechts zu gehen, ist die Wahrscheinlichkeit, in Fach k zu landen (k-mal rechts von n),

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) zählt die Wege, die in Fach k enden, und p^k(1 − p)^{n − k} ist die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen.

Rechenbeispiel: 12 Reihen, p = 0,5. Das mittlere Fach, k = 6, hat C(12, 6) = 924 Wege, jeder mit der Wahrscheinlichkeit 0,5¹² = 1 ÷ 4.096, also P(6) = 924 ÷ 4.096 = 22,6 %. Ein Randfach hat einen Weg: 1 ÷ 4.096 = 0,024 %. Von 1.000 Kugeln landen etwa 226 in der Mitte und an jedem Rand keine oder vielleicht eine.

Mittelwert und Standardabweichung

μ = n p und σ = √(n p (1 − p))

Bei 12 Reihen und p = 0,5 ist μ = 6 und σ = √3 = 1,73. Bei einer Normalverteilung liegen 68 % innerhalb einer σ um den Mittelwert und 95 % innerhalb von zwei; auf diesem Brett enthalten die Fächer 5 bis 7 61 % der Kugeln, weil die Fächer ganze Zahlen sind und eine σ die Fächer 4 und 8 nicht ganz erreicht. σ wächst nur mit √n, ein Brett mit viermal so vielen Reihen hat also einen doppelt so breiten Haufen, relativ zur Breite des Bretts aber einen halb so breiten.

Die Normalapproximation

Für großes n liegt die Binomialverteilung nahe an der Normalverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung, f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π)). Eine gängige Regel sagt, sie passt, wenn n p und n (1 − p) beide mindestens 5 sind (manche Bücher sagen 10). Bei p = 0,1 und 12 Reihen ist n p = 1,2: Der Haufen drängt sich an den linken Rand und ist schief (Schiefe (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), und die symmetrische Glocke passt schlecht.

Der zentrale Grenzwertsatz

Jeder Abprall fügt einen kleinen Zufallsschritt hinzu, und das Fach ist ihre Summe. Der zentrale Grenzwertsatz sagt, dass die Summe vieler unabhängiger Zufallsgrößen sich einer Normalverteilung nähert, egal wie jede einzelne verteilt ist, sofern sie eine endliche Streuung hat. Würfel zeigen das gut. Ein Würfel ist flach: jede Seite 1 zu 6. Zwei Würfel ergeben ein Dreieck mit Spitze bei 7. Die Summe von n Würfeln hat den Mittelwert 3,5 n und die Varianz 35 n ÷ 12, und ab fünf oder sechs Würfeln ist sie kaum von einer Glocke zu unterscheiden. Darum sehen Körpergrößen, Messfehler und Testergebnisse, jeweils Summe vieler kleiner Einflüsse, so oft normalverteilt aus.

Einen Haufen prüfen: Chi-Quadrat

Passt ein Haufen zur Binomialverteilung, oder ist das Brett schief? Vergleiche beobachtete Anzahlen O mit erwarteten E = N × P(k) über

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

Fasse benachbarte Fächer zusammen, bis jedes mindestens 5 erwartete Kugeln hat, und nimm dann Fächer − 1 Freiheitsgrade. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit für ein so großes χ², wenn das Brett fair ist. Rechenbeispiel: 200 Kugeln auf einem Brett mit 4 Reihen und p = 0,5 erwarten 12,5, 50, 75, 50, 12,5. Beobachtet 15, 44, 80, 47, 14: χ² = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 bei 4 Freiheitsgraden, p = 0,75, ganz im Rahmen des Zufalls.

Die Simulation benutzen

Der Galtonbrett-Simulator lässt laufend Kugeln fallen. Die Balken zeigen den Anteil in jedem Fach, die gestrichelte Linie die exakte Verteilung und die grüne Kurve die Normalverteilung. Unter dem Bild stehen Stichprobenmittelwert und -standardabweichung neben den erwarteten Werten sowie der Chi-Quadrat-Test. Zum Ausprobieren:

Beobachte den Stichprobenmittelwert im Diagramm über die Zeit: Erst schwankt er, dann pendelt er sich auf μ ein, sein Fehler schrumpft wie σ ÷ √N.
Stell p auf 0,15 mit 6 Reihen: Der Haufen ist schief, und die Normalkurve verfehlt ihn. Erhöhe auf 20 Reihen, und er wird wieder zur Glocke.
Wechsle zu den Würfeln und geh n von 1 bis 6 durch: flach, Dreieck, dann Glocke.
Lass es laufen und achte auf den p-Wert: Bei einem fairen Brett wandert er irgendwo zwischen 0 und 1 und fällt etwa jedes zwanzigste Mal unter 0,05.

Was das Modell annimmt

Unabhängige Abpraller mit demselben p. Jeder Stift ist ein frischer Münzwurf, unbeeinflusst vom letzten. Das ist die Definition eines Binomialprozesses.
Genau ein Abprall pro Reihe. Die Kugel trifft immer den nächsten Stift und rückt um einen halben Stiftabstand nach links oder rechts; sie überspringt nie eine Reihe und prallt nie zweimal ab.
Kugeln beeinflussen sich nicht. Sie gehen durcheinander hindurch und verkeilen oder stoßen sich nie.
Faire Würfel, jede Seite genau 1 zu 6, im Würfelmodus.
Ein Pseudozufallszahlengenerator steht für den Zufall. Er ist weit gleichmäßiger, als ein echtes Brett es braucht.

Grenzfälle

Eine Reihe ist ein einzelner Münzwurf: zwei Fächer mit den Anteilen 1 − p und p, und die Glockenkurve ist bedeutungslos.
p nahe 0 oder 1: Fast jede Kugel nimmt denselben Randweg; die Verteilung ist schief und eher eine Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert n p.
Wenige Kugeln: Bei weniger als ein paar Dutzend ist der Haufen zerklüftet, und der Chi-Quadrat-Test hat zu wenige Kugeln pro Fach; er wartet auf mindestens zwei Fächer mit 5 erwarteten.
Ein Würfel ergibt eine flache Verteilung ohne Spitze, das Gegenteil einer Glocke, und genau der Ausgangspunkt, von dem aus der zentrale Grenzwertsatz arbeitet.

Wo das Modell nicht mehr stimmt

Echte Galtonbretter sind nicht ideal. Eine Kugel hat Schwung: Nach einem Rechts-Abprall geht sie etwas wahrscheinlicher wieder nach rechts, die Abpraller sind also korreliert, und der Haufen wird breiter als die Binomialverteilung. Kugeln können auch Stifte überspringen oder sich verkeilen.
Nicht alles ist eine Summe. Größen, die aus dem Produkt vieler Faktoren entstehen, etwa Einkommen oder Teilchengrößen, sind lognormal, schief mit einem langen Ausläufer; der zentrale Grenzwertsatz gilt für ihre Logarithmen.
Schwere Ränder. Haben die einzelnen Schritte keine endliche Varianz (etwa bei einer Cauchy-Verteilung), wird ihre Summe nie normalverteilt.
Abhängigkeit. Kursbewegungen, Epidemien und andere Vorgänge, bei denen ein Ereignis das nächste verändert, folgen nicht der Binomialverteilung; sie als unabhängige Münzwürfe zu behandeln, unterschätzt die Extreme.
Die Normalkurve ist stetig und unbegrenzt, die Fächer aber ganze Zahlen von 0 bis n; weit draußen in den Rändern gibt sie kleine, aber unmögliche Wahrscheinlichkeiten unter 0 oder über n.

Passende Tools

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Die Binomialverteilung, die Glockenkurve und das Galtonbrett