Reihen- und Parallelschaltung erklärt

Das ohmsche Gesetz

An einem Widerstand ist die Spannung proportional zum Strom: V = I R. Ein Widerstand von 100 Ω mit 0,05 A hat 5 V anliegen. Die Spannung ist die Energie, die jedes Coulomb Ladung beim Durchqueren des Bauteils abgibt; der Strom ist, wie viele Coulomb pro Sekunde durchfließen; ihr Produkt ist die in Wärme oder Licht umgesetzte Leistung, P = V I = I² R.

Reihenschaltung

Bauteile in Reihe liegen in einer einzigen Linie, durch jedes fließt also derselbe Strom. Ihre Spannungen addieren sich zur Versorgungsspannung, und ihre Widerstände addieren sich einfach:

R = R₁ + R₂ + R₃ + …

Der größte Widerstand bekommt den größten Anteil der Spannung. Unterbricht man den Kreis irgendwo, wie bei einer kaputten Lampe in einer alten Lichterkette, hört der Strom überall auf.

Parallelschaltung

Bauteile parallel liegen alle zwischen denselben zwei Punkten, an jedem liegt also die volle Spannung, und die Ströme addieren sich:

1 ÷ R = 1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂ + 1 ÷ R₃ + …

Der Gesamtwiderstand ist immer kleiner als der kleinste Zweig, weil jeder Zweig ein weiterer Weg für den Strom ist. Für zwei Widerstände gilt R = R₁R₂ ÷ (R₁ + R₂). Hausinstallationen sind parallel: Jede Steckdose bekommt Netzspannung, und schaltet man eine Lampe aus, bleiben die anderen an.

Die kirchhoffschen Regeln

• Knotenregel: Der Strom, der in einen Knoten hineinfließt, ist gleich dem, der hinausfließt. Ladung bleibt erhalten und staut sich nicht.
• Maschenregel: In jeder geschlossenen Masche sind die Spannungsanstiege (Batterien) gleich den Spannungsabfällen (Widerstände). Die Energie pro Ladung bleibt erhalten.

Zusammen mit dem ohmschen Gesetz lösen sie jedes Netz aus Widerständen und Quellen, wie verworren es auch ist; Schaltungssimulatoren schreiben eine Knotengleichung pro Knoten und lösen alle zusammen, und genau das macht diese Simulation.

Ein Rechenbeispiel

Eine 9-V-Batterie speist R₁ = 100 Ω in Reihe mit R₂ = 220 Ω und R₃ = 330 Ω parallel. Den Innenwiderstand der Batterie lassen wir zunächst weg.

1. Das parallele Paar: 220 × 330 ÷ (220 + 330) = 132 Ω.
2. Die ganze Schaltung: 100 + 132 = 232 Ω.
3. Batteriestrom: 9 ÷ 232 = 38,8 mA, alles durch R₁, an dem 3,88 V abfallen.
4. Das Paar bekommt die übrigen 9 − 3,88 = 5,12 V: 23,3 mA durch R₂ und 15,5 mA durch R₃, zusammen 38,8 mA, wie die Knotenregel verlangt.
5. Leistung: R₁ 0,151 W, R₂ 0,119 W, R₃ 0,079 W, gesamt 0,349 W = 9 V × 38,8 mA.

Echte Batterien: der Innenwiderstand

Eine Batterie verhält sich wie eine ideale Spannung E (ihre elektromotorische Kraft) in Reihe mit einem kleinen Innenwiderstand r. Ein Strom I lässt in ihr I r abfallen, die Spannung an den Klemmen ist also V = E − I r. Eine frische AA-Zelle hat etwa 0,1 bis 0,3 Ω; beim Entladen steigt r, deshalb zeigt eine schwache Batterie am Messgerät (fast ohne Strom) beinahe volle Spannung und bricht unter Last ein. Mit r = 0,5 Ω sinkt der Strom im Beispiel leicht auf 38,7 mA und die Klemmenspannung auf 8,98 V.

Teiler und Brücken

Zwei Widerstände in Reihe teilen eine Spannung: V_aus = V × R₂ ÷ (R₁ + R₂). Alles, was an R₂ angeschlossen wird, liegt parallel dazu und zieht V_aus herunter, ein Teiler liefert seine Nennspannung also nur an eine Last, die viel größer als R₂ ist. Eine Wheatstonesche Brücke sind zwei Teiler nebeneinander mit einem Messgerät zwischen ihren Mittelpunkten; es zeigt null, wenn R₁ ÷ R₂ = R₃ ÷ R₄, womit sich ein unbekannter Widerstand sehr genau gegen bekannte messen lässt, etwa bei Dehnungsmessstreifen und alten Laborbrücken.

Die Simulation benutzen

Im Simulator für Reihen- und Parallelschaltungen wählst du eine Schaltung und stellst Batterie, Innenwiderstand und jeden Widerstand ein. Jeder Strom, jede Spannung und Leistung wird aufgelistet, die Lampen leuchten mit ihrer Leistung, und die Elektronen driften mit einer Geschwindigkeit proportional zum Strom. Zum Ausprobieren:

• Mach in der Reihenschaltung R₃ groß: Er bekommt den Großteil der Spannung und leuchtet am hellsten, die anderen werden dunkler.
• Öffne in der Parallelschaltung den Schalter: R₃ geht aus, R₁ und R₂ bleiben unverändert (bei r = 0); bei großem Innenwiderstand werden sie etwas heller, weil die Batterie weniger belastet ist.
• Stell in der Brücke R₁ = 100, R₂ = 220, R₃ = 150 ein und dreh R₄ auf 330: Das Messgerät wird grün und zeigt null.
• Sieh dir das Diagramm an: Die Leistung in R₁ ist am größten, wenn R₁ gleich dem Widerstand ist, den der Rest der Schaltung ihm bietet, der Satz von der Leistungsanpassung.

Was das Modell annimmt

• Ohmsche Widerstände. Jede Lampe ist ein fester Widerstand. Er ändert sich nicht mit Strom oder Temperatur.
• Ideale Leitungen und Schalter. Leitungen haben 0,001 Ω, ein geschlossener Schalter ebenso, ein offener 10⁹ Ω; das Messgerät der Brücke hat 50 Ω.
• Gleichstrom im eingeschwungenen Zustand. Alles stellt sich sofort ein; es gibt keine Kapazität oder Induktivität, also keine Verzögerung oder kein Nachschwingen, wenn der Schalter umgelegt wird.
• Eine Batterie, die nie leer wird, mit konstantem E und r.
• Für die Anzeige skalierte Elektronengeschwindigkeiten. Echte Driftgeschwindigkeiten sind Bruchteile eines Millimeters pro Sekunde.

Grenzfälle

• Offener Schalter in Reihe: Der Strom ist überall null, und die volle Batteriespannung liegt am offenen Schalter an; deshalb kann ein offener Schalter im Netz noch einen Schlag geben.
• Kein Innenwiderstand bei sehr kleiner Last: Im idealen Modell wächst der Strom unbegrenzt. Echte Batterien begrenzt r, und ein Kurzschluss kann sie gefährlich erhitzen.
• Gleiche Widerstände parallel: n gleiche Widerstände R parallel ergeben R ÷ n, und der Strom teilt sich gleichmäßig.
• Abgeglichene Brücke: Durch das Messgerät fließt kein Strom, die Brücke verhält sich also wie zwei unabhängige Teiler, und der Widerstand des Messgeräts spielt keine Rolle.

Wo das Modell nicht mehr stimmt

• Echte Glühlampen sind nicht ohmsch. Der Widerstand eines Wolframfadens steigt von kalt bis weißglühend etwa auf das Zehnfache, er zieht beim Einschalten also einen großen Stromstoß, und seine Helligkeit ist nicht proportional zu V². LEDs und Dioden sind noch weniger ohmsch: unterhalb einer Schwellenspannung fließt kaum Strom.
• Wechselstrom. Kondensatoren und Spulen bringen Strom und Spannung aus dem Takt, und an die Stelle des Widerstands tritt die Impedanz; der RC- und RL-Schaltungs-Simulator zeigt ihre Ladekurven.
• Schnelle Signale. Bei hohen Frequenzen haben die Leitungen selbst Induktivität und Kapazität und verhalten sich wie Leitungen im Sinne der Hochfrequenztechnik; Signale brauchen Zeit, und die kirchhoffschen Regeln in dieser einfachen Form gelten nicht mehr.
• Erwärmung und Grenzen. Widerstände haben eine Belastbarkeit und werden warm; Leitungen haben einen Widerstand, der bei langen Strecken zählt, wie der Spannungsabfall in einem Kabel zeigt; E und r von Batterien ändern sich mit Ladezustand und Temperatur.

Rechner

Berechne V, I, R und P mit dem Rechner für das Ohmsche Gesetz, kombiniere Widerstände mit dem Reihen- und Parallelschaltungs-Rechner und entwirf Teiler mit dem Spannungsteiler-Rechner; die Anleitungen Das ohmsche Gesetz anwenden und Wie ein Spannungsteiler funktioniert gehen weiter.