Fourierreihen erklärt: Wellen aus Sinusschwingungen bauen

Die Idee

Jedes Signal, das sich mit der Periode T wiederholt, lässt sich als Summe von Sinus- und Kosinuswellen schreiben, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f = 1 ÷ T sind:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), mit ω = 2πf

Die Terme sind die Oberschwingungen (Harmonischen): n = 1 ist die Grundschwingung, n = 2 die zweite Harmonische mit doppelter Frequenz und so weiter. Die Koeffizienten findet man, indem man das Signal mit jedem Sinus oder Kosinus multipliziert und über eine Periode mittelt: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier führte die Idee 1807 ein, um die Wärmeleitungsgleichung zu lösen; heute steckt sie hinter Audio- und Bildkompression, Funk, Spektroskopie und der Analyse von allem, was schwingt.

Drei Standardwellen

Für Wellen, die zwischen −1 und +1 schwingen und ungerade sind (nur Sinusterme nötig):

• Rechteckwelle: b_n = 4 ÷ (nπ) für ungerade n, null für gerade n. Amplituden 1,273, 0,424, 0,255, 0,182, …
• Sägezahn: b_n = −2 ÷ (nπ) für jedes n (steigende Rampe). Alle Harmonischen, abfallend wie 1 ÷ n.
• Dreieck: b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) für ungerade n. Abfallend wie 1 ÷ n², viel schneller.

Die Regel dahinter: Ein Signal mit Sprüngen hat Koeffizienten, die wie 1 ÷ n fallen; eines, das stetig ist, aber Ecken hat, wie 1 ÷ n²; noch glatter, noch schneller. Glatte Signale brauchen wenige Terme, scharfe viele.

Ein Rechenbeispiel

Addiere die ersten drei nicht verschwindenden Terme der Rechteckwelle in ihrer Mitte, ωt = π ÷ 2, wo die Welle +1 ist:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Fünf Terme ergeben 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063; die Partialsummen pendeln um 1 und nähern sich langsam, wie es die 1 ÷ n-Koeffizienten erwarten lassen.

Das Gibbs-Phänomen

Nahe einem Sprung schießen die Partialsummen über, und das Überschwingen wird mit mehr Termen nicht kleiner. Es strebt auf jeder Seite gegen etwa 8,95 % des Sprungs: Eine Rechteckwelle, die von −1 auf +1 springt (ein Sprung von 2), erreicht etwa 1,18, egal wie viele Harmonische verwendet werden. Die Welligkeit wird schmaler und drängt sich zum Sprung hin, der über eine Periode gemittelte Fehler geht also gegen null, der größte Fehler aber nicht. Das zählt in der Praxis: Schneidet man hohe Frequenzen ab (ein Tiefpass oder JPEG-Kompression), entsteht neben scharfen Kanten ein Nachschwingen.

Leistung: der Satz von Parseval

Der Mittelwert von f² über eine Periode ist gleich der Summe der Leistungen der Harmonischen: Mittel(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (für eine reine Sinusreihe). Für die Rechteckwelle ist Mittel(f²) = 1, und die Grundschwingung allein enthält (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81 % davon; die ersten fünf ungeraden Harmonischen 96 %. Deshalb klingt eine Rechteckwelle nach ihrer Grundtonhöhe mit einer hellen, schnarrenden Färbung: Die oberen Harmonischen tragen die übrigen paar Prozent.

Epizykel und die diskrete Fourier-Transformation

Jeder Term c e^inωt ist ein Punkt, der einen Kreis vom Radius |c| mit n Umläufen pro Periode umrundet. Die Terme hintereinander addiert ergeben eine Kette von Kreisen, jeder mit eigener Geschwindigkeit: Epizykel, dasselbe Hilfsmittel, das Ptolemäus für die Planeten nutzte. Für einen geschlossenen Umriss in der Ebene schreibt man seine Punkte als komplexe Zahlen z = x + iy, tastet M davon gleichmäßig ab und berechnet die diskrete Fourier-Transformation:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Jedes c_k ist ein Kreis; mit allen M zeichnet die Kette den Umriss exakt nach, mit nur den wenigen größten eine geglättete Version. Ecken und feine Details stecken in den kleinen, schnellen Kreisen.

Die Simulation benutzen

Im Fourierreihen-Simulator wählst du eine Welle und die Zahl der Terme. Die Kreiskette dreht sich, die Höhe des Stifts ist die Partialsumme, und die Kurve wandert nach rechts über die exakte Welle in Grün; das Diagramm ist das Spektrum. Zum Ausprobieren:

• Rechteckwelle mit 1 Term, dann 2, 5, 20 und 100: Das Überschwingen am Sprung bleibt bei etwa 9 %, während die Welligkeit schmaler wird.
• Dreieck mit 3 Termen: schon sehr nah dran, weil die Koeffizienten wie 1 ÷ n² fallen.
• Kreuz den Ton an und füge der Rechteckwelle Terme hinzu: Die Tonhöhe bleibt gleich, während der Klang von einem reinen, flötenartigen Sinus zu einem rohrblattartigen Schnarren wird.
• Zeichne eine eigene Form und schieb die Zahl der Terme auf 3 oder 4 herunter: Die Zeichnung schmilzt zu einer ellipsenartigen Schleife.

Was das Modell annimmt

• Ideale, exakt periodische Wellen der Amplitude 1 mit exakten Koeffizienten; für die Wellen wird nichts gemessen oder abgetastet.
• Reine Sinusreihen für die drei Wellen, als ungerade Funktionen gewählt; eine verschobene Welle bräuchte auch Kosinusterme.
• Formen auf 256 gleichmäßig verteilte Punkte entlang des Umrisses umgetastet, vor der Transformation, geschlossen durch Verbinden des letzten Punkts mit dem ersten.
• Ton aus denselben Koeffizienten über die periodische Welle der Web-Audio-Schnittstelle des Browsers, die die Lautstärke normiert; gespielt in der eingestellten Tonhöhe, wobei Harmonische über etwa 20 kHz unhörbar sind.

Grenzfälle

• Ein Term: Jede Welle wird zu einem reinen Sinus der Amplitude b₁; bei der Rechteckwelle sind das 4 ÷ π = 1,27, höher als die Welle selbst.
• Genau am Sprung ist jede Partialsumme der Rechteckwelle exakt 0, der Mittelwert der beiden Seiten.
• Eine Zeichnung, die sich selbst kreuzt oder eine Lücke hat, wird trotzdem als eine geschlossene Schleife behandelt; die Transformation passt sich jedem Weg an, den die Punkte bilden.
• Sehr hohe Harmonische im Ton: Bei 880 Hz läge die 100. Harmonische bei 88 kHz, weit über dem Hörbaren und über dem, was die Audiohardware spielen kann; der Browser lässt sie weg.

Wo es nicht mehr stimmt

• Signale, die sich nicht wiederholen, haben keine Fourierreihe; sie brauchen die Fourier-Transformation, ein kontinuierliches Frequenzspektrum. Kurze Klänge haben breite Spektren, deshalb hat ein Klicken keine Tonhöhe.
• Abgetastete Daten. Ein mit endlicher Rate gemessenes Signal kann keine Frequenzen über der halben Rate darstellen (die Nyquist-Grenze); höhere klappen als falsche, tiefere Frequenzen zurück (Aliasing).
• Echte Instrumente sind keine idealen Wellen: Ihre Obertöne sind nicht genau ganzzahlige Vielfache (Klaviersaiten sind steif), sie ändern sich im Verlauf eines Tons, und der Einschwingvorgang trägt viel vom Charakter, wie der Instrumentenstimmer zeigt, wenn er einen echten Ton liest.
• Pathologische Funktionen. Es gibt stetige Funktionen, deren Fourierreihen an manchen Punkten divergieren; für alles Gezeichnete oder Aufgenommene spielt das in der Praxis nie eine Rolle.

Passende Tools

Der Simulator für stehende Wellen zeigt die Harmonischen, die eine Saite oder ein Rohr tragen kann, und der Tongenerator spielt Sinus, Rechteck, Sägezahn und Dreieck in jeder Frequenz zum Vergleichen mit dem Ohr.