Fourierreihen-Simulator
Gleichungen in dieser Simulation
| n | Nummer der Oberschwingung | Kreis n dreht sich n-mal so schnell wie der erste; die Wellen hier brauchen nur Sinusterme | |
|---|---|---|---|
| b_n | Amplitude der Oberschwingung n | der Radius von Kreis n | |
| N | Anzahl der Terme | wie viele Kreise addiert werden; die Höhe des Stifts ist die Partialsumme |
Mit den aktuellen Werten:
| Abfall | wie schnell die Terme kleiner werden | wie 1 ÷ n bei Wellen mit Sprüngen, wie 1 ÷ n² beim Dreieck, das nur Ecken hat: glattere Formen brauchen weniger Terme |
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Mit den aktuellen Werten:
| Gibbs | das Überschwingen neben einem Sprung | etwa 9 % des Sprungs, egal wie viele Terme dazukommen: die Welligkeit wird schmaler, aber nie niedriger |
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Mit den aktuellen Werten:
| Parseval | Leistung in den ersten N Termen im Verhältnis zur gesamten | wie viel der Welle die Kreise erfasst haben |
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Mit den aktuellen Werten:
| c_k | ein Epizykel einer Form | die diskrete Fourier-Transformation von M Punkten z_j = x + iy entlang des Umrisses; die größten Kreise werden zuerst verwendet |
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Mit den aktuellen Werten:
So benutzt du den Fourierreihen-Simulator
- Wähle eine Rechteck-, Sägezahn- oder Dreieckwelle. Jeder Kreis dreht sich mit einem ganzzahligen Vielfachen der Geschwindigkeit des ersten, und sein Radius ist die Amplitude dieser Oberschwingung; der Stift am Ende der Kette zeichnet die Summe, die nach rechts über die exakte Welle in Grün wandert.
- Füge mit dem Regler Terme hinzu und sieh die Welle schärfer werden. Neben jedem Sprung schießt die Summe um etwa 9 % über, egal wie viele Terme du hinzufügst, das Gibbs-Phänomen; Fehler und erfasster Leistungsanteil stehen unter dem Bild, und das Diagramm zeigt das Spektrum der Oberschwingungen. Kreuz Welle als Ton abspielen an, um zu hören, wie aus einem weichen Sinus mit jeder Oberschwingung eine schnarrende Rechteckwelle wird.
- Wechsle zum Herz oder Stern, oder wähle Deine eigene Zeichnung und zieh eine geschlossene Form auf das Bild; die Epizykel fahren sie aus ihrer diskreten Fourier-Transformation nach, die größten Kreise zuerst. Wenige Kreise ergeben einen groben Klecks, mehr fügen die Ecken hinzu. Der Simulator für stehende Wellen zeigt Oberschwingungen auf einer Saite.
Häufige Fragen
Was ist eine Fourierreihe?
Eine Art, jedes sich wiederholende Signal als Summe von Sinus- und Kosinuswellen zu schreiben, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Wiederholrate sind. Joseph Fourier führte sie 1807 ein, um die Wärmeleitungsgleichung zu lösen. Sie steckt hinter Audiokompression, Bildformaten wie JPEG, Funk und der Analyse von allem, was schwingt.
Warum braucht eine Rechteckwelle nur ungerade Oberschwingungen?
Eine Rechteckwelle hat Halbwellensymmetrie: Ihre zweite Hälfte ist die umgedrehte erste. Gerade Oberschwingungen würden diese Symmetrie brechen, ihre Koeffizienten sind also null. Ihre ungeraden Oberschwingungen haben die Amplituden 4 ÷ (nπ): ein Drittel, ein Fünftel, ein Siebtel der ersten, und sie fallen wegen der plötzlichen Sprünge nur langsam ab.
Was ist das Gibbs-Phänomen?
Nahe einem Sprung schießt eine Fourier-Partialsumme um etwa 9 % des Sprungs über, und mehr Terme machen die Welligkeit schmaler, aber nicht niedriger. Im Mittel nähert sich die Summe der Welle trotzdem an, weil die Welligkeit einen immer kleineren Teil der Periode einnimmt, aber einen Sprung trifft sie nie perfekt.
Wie zeichnen Kreise ein Bild?
Schreib jeden Punkt des Umrisses als komplexe Zahl x + iy und berechne die diskrete Fourier-Transformation. Jeder Koeffizient ist ein Kreis mit festem Radius, der sich mit seiner eigenen ganzzahligen Geschwindigkeit dreht, manche in die eine, manche in die andere Richtung. Hintereinandergesetzt fahren sie den Umriss exakt nach, wenn alle verwendet werden, und ungefähr mit den größten wenigen.
Es heißt, WebGL sei abgeschaltet.
Die 3D-Ansicht braucht WebGL, das jeder aktuelle Browser hat. Es kann abgeschaltet sein, wenn die Hardwarebeschleunigung in den Browsereinstellungen deaktiviert ist oder der Grafiktreiber sehr alt ist. Schalte die Hardwarebeschleunigung ein oder probier einen anderen Browser.
Wird etwas hochgeladen?
Nein. Die Simulation zeichnet dein eigener Browser mit WebGL; nichts wird irgendwohin gesendet, und sie läuft auch offline weiter, sobald die Seite geladen ist.