푸리에 급수 시뮬레이터
이 시뮬레이션의 방정식
| n | 고조파 번호 | 원 n은 첫 원보다 n배 빨리 돎. 여기의 파형은 사인만으로 충분함 | |
|---|---|---|---|
| b_n | 고조파 n의 진폭 | 원 n의 반지름 | |
| N | 항의 수 | 더하는 원의 수. 펜의 높이가 부분합 |
현재 값을 넣으면:
| 감소 | 항이 작아지는 빠르기 | 도약이 있는 파형은 1 ÷ n, 모서리만 있는 삼각파는 1 ÷ n². 매끄러운 모양일수록 적은 항으로 충분함 |
|---|
현재 값을 넣으면:
| 깁스 | 도약 옆의 오버슈트 | 항을 몇 개 더하든 도약의 약 9%: 물결은 좁아지지만 낮아지지 않음 |
|---|
현재 값을 넣으면:
| 파세발 | 처음 N개 항의 전력이 전체에서 차지하는 비율 | 원들이 파형을 얼마나 잡아냈는지 |
|---|
현재 값을 넣으면:
| c_k | 모양의 주전원 하나 | 윤곽을 따라 놓인 M개 점 z_j = x + iy의 이산 푸리에 변환. 큰 원부터 사용함 |
|---|
현재 값을 넣으면:
푸리에 급수 시뮬레이터 사용법
- 사각파, 톱니파, 삼각파 중 하나를 고르세요. 각 원은 첫 원 속력의 정수배로 돌고, 반지름이 그 고조파의 진폭입니다. 사슬 끝의 펜이 합을 그리고, 그 곡선은 초록색 정확한 파형 위로 오른쪽으로 흘러갑니다.
- 슬라이더로 항을 늘리면 파형이 점점 날카로워집니다. 도약 바로 옆에서는 항을 몇 개 더하든 합이 약 9% 넘어서는데, 이것이 깁스 현상입니다. 오차와 잡아낸 전력의 비율은 그림 아래에, 고조파 스펙트럼은 그래프에 나옵니다. 파형을 소리로 재생을 켜면 고조파가 더해지면서 부드러운 사인파가 웅웅거리는 사각파로 바뀌는 소리를 들을 수 있습니다.
- 하트나 별로 바꾸거나, 직접 그리기를 고르고 그림 위에 닫힌 모양을 드래그해 그리면, 주전원이 그 이산 푸리에 변환으로 큰 원부터 모양을 따라 그립니다. 원이 적으면 대충 뭉친 덩어리가 되고, 많을수록 모서리가 살아납니다. 정상파 시뮬레이터에서 줄의 고조파를 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
푸리에 급수란 무엇인가요?
반복되는 신호를, 반복 주파수의 정수배 주파수를 가진 사인파와 코사인파의 합으로 쓰는 방법입니다. 조제프 푸리에가 1807년에 열 흐름 방정식을 풀려고 도입했습니다. 오디오 압축, JPEG 같은 이미지 형식, 무선 통신, 진동하는 모든 것의 분석이 이것을 바탕으로 합니다.
사각파에는 왜 홀수 고조파만 필요한가요?
사각파는 반파 대칭이어서 뒤쪽 절반이 앞쪽 절반을 뒤집은 모양입니다. 짝수 고조파는 이 대칭을 깨므로 계수가 0입니다. 홀수 고조파의 진폭은 4 ÷ (nπ)로 첫 고조파의 3분의 1, 5분의 1, 7분의 1이며, 갑작스러운 도약 때문에 천천히 줄어듭니다.
깁스 현상이란 무엇인가요?
도약 근처에서 푸리에 부분합이 도약의 약 9%만큼 넘어서는 현상으로, 항을 더하면 물결이 좁아지기는 해도 낮아지지는 않습니다. 물결이 주기에서 차지하는 부분이 점점 작아지므로 합은 평균적으로는 파형에 가까워지지만, 도약에 딱 맞지는 않습니다.
원으로 어떻게 그림을 그리나요?
윤곽의 각 점을 복소수 x + iy로 쓰고 이산 푸리에 변환을 합니다. 각 계수는 반지름이 일정하고 저마다의 정수 속력으로 도는 원이며, 도는 방향은 시계 방향도 반시계 방향도 있습니다. 이 원들을 끝과 끝을 이어 붙이면, 모두 쓸 때는 윤곽을 정확히, 큰 몇 개만 쓸 때는 대략 따라 그립니다.
WebGL이 꺼져 있다고 나옵니다.
3D 화면에는 WebGL이 필요하며, 최신 브라우저는 모두 지원합니다. 브라우저 설정에서 하드웨어 가속이 꺼져 있거나 그래픽 드라이버가 매우 오래되면 비활성화될 수 있습니다. 하드웨어 가속을 켜거나 다른 브라우저를 사용해 보세요.
무언가 업로드되나요?
아니요. 시뮬레이션은 사용자의 브라우저가 WebGL로 직접 그립니다. 어디에도 전송되지 않으며, 페이지를 한 번 불러오면 오프라인에서도 계속 작동합니다.