Simulateur de séries de Fourier
Équations de cette simulation
| n | rang de l'harmonique | le cercle n tourne n fois plus vite que le premier ; ces signaux n'ont besoin que de sinus | |
|---|---|---|---|
| b_n | amplitude de l'harmonique n | le rayon du cercle n | |
| N | Nombre de termes | combien de cercles sont ajoutés ; la hauteur du stylo est la somme partielle |
Avec les valeurs actuelles :
| décroissance | la vitesse à laquelle les termes diminuent | en 1 ÷ n pour les signaux à sauts, en 1 ÷ n² pour le triangle, qui n'a que des angles : les formes plus lisses demandent moins de termes |
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Avec les valeurs actuelles :
| Gibbs | le dépassement à côté d'un saut | environ 9 % du saut, quel que soit le nombre de termes : l'ondulation devient plus étroite mais jamais plus basse |
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Avec les valeurs actuelles :
| Parseval | puissance dans les N premiers termes par rapport au total | la part du signal que les cercles ont captée |
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Avec les valeurs actuelles :
| c_k | un épicycle d'une forme | la transformée de Fourier discrète de M points z_j = x + iy le long du contour ; les plus grands cercles sont utilisés en premier |
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Avec les valeurs actuelles :
Comment utiliser le simulateur de séries de Fourier
- Choisissez un signal carré, en dents de scie ou triangulaire. Chaque cercle tourne à un multiple entier de la vitesse du premier, et son rayon est l'amplitude de cet harmonique ; le stylo au bout de la chaîne trace la somme, qui défile vers la droite au-dessus du signal exact en vert.
- Ajoutez des termes avec le curseur et voyez le signal s'affiner. À côté de chaque saut, la somme dépasse d'environ 9 % quel que soit le nombre de termes, c'est le phénomène de Gibbs ; l'erreur et la part de puissance captée sont affichées sous l'image, et le graphique montre le spectre des harmoniques. Cochez Jouer le signal comme un son pour entendre un sinus doux devenir un carré grinçant à mesure que les harmoniques arrivent.
- Passez au cœur ou à l'étoile, ou choisissez Votre propre dessin et faites glisser une forme fermée sur l'image : les épicycles la retracent à partir de sa transformée de Fourier discrète, les plus grands cercles d'abord. Peu de cercles donnent une tache grossière ; davantage ajoutent les angles. Le Simulateur d’ondes stationnaires montre les harmoniques sur une corde.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?
Une façon d'écrire tout signal périodique comme une somme de sinusoïdes et de cosinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de répétition. Joseph Fourier l'introduisit en 1807 pour résoudre l'équation de la chaleur. Elle est derrière la compression audio, les formats d'image comme le JPEG, la radio et l'analyse de tout ce qui vibre.
Pourquoi un signal carré n'a-t-il besoin que d'harmoniques impairs ?
Un signal carré a une symétrie de demi-onde : sa seconde moitié est la première retournée. Des harmoniques pairs briseraient cette symétrie, donc leurs coefficients sont nuls. Ses harmoniques impairs ont des amplitudes 4 ÷ (nπ) : un tiers, un cinquième, un septième du premier, et décroissent lentement à cause des sauts brusques.
Qu'est-ce que le phénomène de Gibbs ?
Près d'un saut, une somme partielle de Fourier dépasse d'environ 9 % du saut, et ajouter des termes rend l'ondulation plus étroite mais pas plus basse. La somme se rapproche quand même du signal en moyenne, car l'ondulation occupe une part de plus en plus petite de la période, mais elle n'épouse jamais parfaitement un saut.
Comment des cercles dessinent-ils une image ?
Écrivez chaque point du contour comme un nombre complexe x + iy et calculez sa transformée de Fourier discrète. Chaque coefficient est un cercle de rayon fixe qui tourne à sa propre vitesse entière, certains dans un sens, d'autres dans l'autre. Mis bout à bout, ils retracent exactement le contour quand on les utilise tous, et approximativement avec les quelques plus grands.
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Non. La simulation est dessinée par votre propre navigateur avec WebGL ; rien n'est envoyé nulle part, et elle continue de fonctionner hors ligne une fois la page chargée.