Les séries de Fourier expliquées : construire des ondes à partir de sinus

L'idée

Tout signal qui se répète avec une période T peut s'écrire comme une somme de sinus et de cosinus dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de base f = 1 ÷ T :

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), avec ω = 2πf

Les termes sont les harmoniques : n = 1 est le fondamental, n = 2 le deuxième harmonique à fréquence double, et ainsi de suite. On trouve les coefficients en multipliant le signal par chaque sinus ou cosinus et en faisant la moyenne sur une période : b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier a introduit l'idée en 1807 pour résoudre l'équation de la chaleur ; elle est aujourd'hui à la base de la compression audio et d'image, de la radio, de la spectroscopie et de l'analyse de tout ce qui vibre.

Trois signaux classiques

Pour des signaux qui oscillent entre −1 et +1 et sont impairs (seuls les sinus sont nécessaires) :

• Signal carré : b_n = 4 ÷ (nπ) pour n impair, zéro pour n pair. Amplitudes 1,273, 0,424, 0,255, 0,182, …
• Dents de scie : b_n = −2 ÷ (nπ) pour tout n (rampe montante). Tous les harmoniques, décroissant en 1 ÷ n.
• Triangle : b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) pour n impair. Décroissance en 1 ÷ n², bien plus rapide.

La règle derrière tout cela : un signal avec des sauts a des coefficients qui décroissent en 1 ÷ n ; un signal continu mais avec des angles, en 1 ÷ n² ; plus lisse encore, plus vite. Les signaux lisses demandent peu de termes ; les signaux abrupts en demandent beaucoup.

Un exemple chiffré

Additionnez les trois premiers termes non nuls du signal carré en son milieu, ωt = π ÷ 2, où le signal vaut +1 :

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Cinq termes donnent 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063 ; les sommes partielles oscillent autour de 1 et s'en approchent lentement, comme le prévoient les coefficients en 1 ÷ n.

Le phénomène de Gibbs

Près d'un saut, les sommes partielles dépassent, et ce dépassement ne diminue pas quand on ajoute des termes. Il tend vers environ 8,95 % du saut de chaque côté : un signal carré qui saute de −1 à +1 (un saut de 2) culmine vers 1,18 quel que soit le nombre d'harmoniques. L'ondulation devient plus étroite et se resserre vers le saut, donc l'erreur moyenne sur une période tend bien vers zéro, mais pas l'erreur maximale. Cela compte en pratique : couper les hautes fréquences (un filtre passe-bas, ou la compression JPEG) crée des oscillations à côté des bords nets.

La puissance : le théorème de Parseval

La moyenne de f² sur une période égale la somme des puissances des harmoniques : moyenne(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (pour une série de sinus seuls). Pour le signal carré, moyenne(f²) = 1, et le fondamental seul en contient (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81 % ; les cinq premiers harmoniques impairs en contiennent 96 %. C'est pourquoi un signal carré sonne à la hauteur de son fondamental avec un timbre brillant et bourdonnant : les harmoniques supérieurs portent les quelques pour cent restants.

Les épicycles et la transformée de Fourier discrète

Chaque terme c e^inωt est un point qui tourne sur un cercle de rayon |c| à n tours par période. Additionner les termes bout à bout donne une chaîne de cercles tournant chacun à sa propre vitesse : des épicycles, le même procédé que Ptolémée utilisait pour les planètes. Pour un contour fermé dans le plan, écrivez ses points comme des nombres complexes z = x + iy, prenez-en M régulièrement espacés et calculez la transformée de Fourier discrète :

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Chaque c_k est un cercle ; avec les M cercles, la chaîne retrace exactement le contour, et avec seulement les plus grands, elle en dessine une version lissée. Les angles et les détails fins se trouvent dans les petits cercles rapides.

Utiliser la simulation

Dans le Simulateur de séries de Fourier, choisissez un signal et le nombre de termes. La chaîne de cercles tourne, la hauteur du stylo est la somme partielle, et la courbe défile vers la droite au-dessus du signal exact en vert ; le graphique est le spectre. À essayer :

• Signal carré, 1 terme puis 2, 5, 20 et 100 : le dépassement au saut reste proche de 9 % tandis que l'ondulation se resserre.
• Triangle avec 3 termes : déjà très proche, car ses coefficients décroissent en 1 ÷ n².
• Cochez le son et ajoutez des termes au signal carré : la hauteur reste la même tandis que le timbre passe d'un sinus pur, comme une flûte, à un bourdonnement nasillard.
• Dessinez votre propre forme, puis réduisez le nombre de termes à 3 ou 4 : le dessin fond en une boucle presque elliptique.

Ce que le modèle suppose

• Des signaux idéaux, parfaitement périodiques, d'amplitude 1, avec des coefficients exacts ; rien n'est mesuré ni échantillonné pour les signaux.
• Des séries de sinus seuls pour les trois signaux, choisis impairs ; un signal décalé demanderait aussi des cosinus.
• Des formes rééchantillonnées en 256 points régulièrement espacés le long du contour avant la transformée, fermées en reliant le dernier point au premier.
• Le son vient des mêmes coefficients via l'onde périodique Web Audio du navigateur, qui normalise le volume ; il est joué à la hauteur choisie, et les harmoniques au-delà d'environ 20 kHz sont inaudibles.

Cas limites

• Un seul terme : chaque signal devient un sinus pur d'amplitude b₁ ; celui du signal carré vaut 4 ÷ π = 1,27, plus haut que le signal lui-même.
• Au saut lui-même, chaque somme partielle du signal carré vaut exactement 0, la moyenne des deux côtés.
• Un dessin qui se croise ou a une coupure est quand même traité comme une boucle fermée ; la transformée suit le chemin que forment les points, quel qu'il soit.
• Des harmoniques très élevés dans le son : à 880 Hz, le 100e harmonique serait à 88 kHz, bien au-delà de l'audition et de ce que le matériel audio peut jouer ; le navigateur les supprime.

Où cela cesse d'être juste

• Les signaux qui ne se répètent pas n'ont pas de série de Fourier ; il leur faut la transformée de Fourier, un continuum de fréquences. Les sons brefs ont des spectres étalés, ce qui explique qu'un clic n'ait pas de hauteur.
• Les données échantillonnées. Un vrai signal mesuré à une cadence finie ne peut pas représenter les fréquences au-delà de la moitié de cette cadence (la limite de Nyquist) ; les plus hautes se replient en fausses fréquences plus basses (repliement de spectre).
• Les vrais instruments ne sont pas des signaux idéaux : leurs harmoniques ne sont pas exactement des multiples entiers (les cordes de piano sont raides), ils changent au cours d'une note, et l'attaque porte une grande partie du caractère, comme le montre l'Accordeur d’instrument quand il lit une vraie note.
• Les fonctions pathologiques. Il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en certains points ; pour tout ce qui est dessiné ou enregistré, cela n'a jamais d'importance en pratique.

Outils associés

Le Simulateur d’ondes stationnaires montre les harmoniques qu'une corde ou un tuyau peut porter, et le Générateur de sons joue des signaux sinusoïdaux, carrés, en dents de scie et triangulaires à n'importe quelle fréquence pour les comparer à l'oreille.