Penjelasan Deret Fourier: Membangun Gelombang dari Sinus

Gagasannya

Setiap sinyal yang berulang dengan periode T bisa ditulis sebagai jumlah gelombang sinus dan kosinus yang frekuensinya kelipatan bulat dari frekuensi dasar f = 1 ÷ T:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), dengan ω = 2πf

Suku-sukunya adalah harmonik: n = 1 adalah nada dasar, n = 2 harmonik kedua dengan frekuensi dua kali lipat, dan seterusnya. Koefisiennya dicari dengan mengalikan sinyal dengan setiap sinus atau kosinus lalu merata-ratakannya selama satu periode: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier memperkenalkan gagasan ini pada 1807 untuk menyelesaikan persamaan aliran panas; kini gagasan itu menjadi dasar kompresi audio dan gambar, radio, spektroskopi, dan analisis apa pun yang bergetar.

Tiga gelombang standar

Untuk gelombang yang berayun antara −1 dan +1 dan bersifat ganjil (hanya butuh sinus):

• Gelombang kotak: b_n = 4 ÷ (nπ) untuk n ganjil, nol untuk n genap. Amplitudo 1,273, 0,424, 0,255, 0,182, …
• Gigi gergaji: b_n = −2 ÷ (nπ) untuk setiap n (tanjakan naik). Semua harmonik, mengecil sebanding 1 ÷ n.
• Segitiga: b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) untuk n ganjil. Mengecil sebanding 1 ÷ n², jauh lebih cepat.

Aturan di baliknya: sinyal yang punya lompatan memiliki koefisien yang mengecil seperti 1 ÷ n; sinyal yang kontinu tetapi bersudut, seperti 1 ÷ n²; yang lebih mulus lagi, lebih cepat. Sinyal mulus butuh sedikit suku; sinyal tajam butuh banyak.

Contoh perhitungan

Jumlahkan tiga suku pertama yang tidak nol dari gelombang kotak di titik tengahnya, ωt = π ÷ 2, tempat gelombang bernilai +1:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Lima suku memberi 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063; jumlah parsial bergoyang di sekitar 1 dan mendekat perlahan, seperti yang diperkirakan dari koefisien 1 ÷ n.

Fenomena Gibbs

Di dekat lompatan, jumlah parsial melampaui nilai sebenarnya, dan lonjakan itu tidak mengecil saat suku ditambah. Lonjakannya mendekati sekitar 8,95% dari besar lompatan di setiap sisi: gelombang kotak yang melompat dari −1 ke +1 (lompatan 2) memuncak di sekitar 1,18 berapa pun harmonik yang dipakai. Riaknya makin sempit dan terdesak ke arah lompatan, jadi galat rata-rata selama satu periode memang menuju nol, tetapi galat maksimumnya tidak. Ini penting dalam praktik: memotong frekuensi tinggi (filter lolos-rendah, atau kompresi JPEG) menimbulkan riak di sebelah tepi yang tajam.

Daya: teorema Parseval

Rata-rata f² selama satu periode sama dengan jumlah daya harmonik: rata-rata(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (untuk deret sinus saja). Untuk gelombang kotak, rata-rata(f²) = 1, dan nada dasarnya saja memuat (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81%; lima harmonik ganjil pertama memuat 96%. Itulah sebabnya gelombang kotak terdengar pada nada dasarnya dengan warna suara yang terang dan berdengung: harmonik atas membawa beberapa persen sisanya.

Episiklus dan transformasi Fourier diskret

Setiap suku c e^inωt adalah titik yang berputar pada lingkaran berjari-jari |c| sebanyak n putaran per periode. Menjumlahkan suku-suku secara berurutan ujung ke pangkal menghasilkan rantai lingkaran yang masing-masing berputar dengan kecepatannya sendiri: episiklus, alat yang sama yang dipakai Ptolemeus untuk planet. Untuk garis luar tertutup di bidang, tulis titik-titiknya sebagai bilangan kompleks z = x + iy, ambil M titik berjarak sama, lalu hitung transformasi Fourier diskret:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Setiap c_k adalah satu lingkaran; dengan seluruh M lingkaran, rantai itu menelusuri garis luar dengan tepat, dan dengan hanya beberapa yang terbesar, ia menggambar versi yang dihaluskan. Sudut dan detail halus ada pada lingkaran kecil yang cepat.

Memakai simulasi

Di Simulator Deret Fourier, pilih gelombang dan jumlah suku. Rantai lingkaran berputar, tinggi pena adalah jumlah parsial, dan kurva bergulir ke kanan di atas gelombang tepat berwarna hijau; grafiknya adalah spektrum. Coba hal berikut:

• Gelombang kotak, 1 suku lalu 2, 5, 20, dan 100: lonjakan di lompatan tetap dekat 9% sementara riaknya menyempit.
• Segitiga dengan 3 suku: sudah sangat dekat, karena koefisiennya mengecil sebanding 1 ÷ n².
• Centang suara dan tambahkan suku pada gelombang kotak: nadanya tetap sama sementara warna suaranya berubah dari sinus murni seperti seruling menjadi dengung sengau.
• Gambar bentukmu sendiri, lalu turunkan jumlah suku ke 3 atau 4: gambarnya meleleh menjadi lingkaran yang mirip elips.

Asumsi model

• Gelombang ideal yang periodik sempurna dengan amplitudo 1 dan koefisien tepat; tidak ada yang diukur atau dicuplik untuk gelombang ini.
• Deret sinus saja untuk ketiga gelombang, yang dipilih sebagai fungsi ganjil; gelombang yang digeser juga butuh kosinus.
• Bentuk dicuplik ulang menjadi 256 titik berjarak sama di sepanjang garis luar sebelum ditransformasi, ditutup dengan menyambung titik terakhir ke titik pertama.
• Suara dari koefisien yang sama melalui gelombang periodik Web Audio di peramban, yang menormalkan kerasnya suara; suara diputar pada nada yang kamu atur, dan harmonik di atas sekitar 20 kHz tidak terdengar.

Kasus tepi

• Satu suku: setiap gelombang menjadi sinus murni dengan amplitudo b₁; milik gelombang kotak adalah 4 ÷ π = 1,27, lebih tinggi daripada gelombang itu sendiri.
• Tepat di lompatan, setiap jumlah parsial gelombang kotak bernilai tepat 0, rata-rata kedua sisi.
• Gambar yang menyilang dirinya sendiri atau punya celah tetap diperlakukan sebagai satu lingkaran tertutup; transformasi mengikuti jalur apa pun yang dibentuk titik-titiknya.
• Harmonik yang sangat tinggi pada suara: pada 880 Hz, harmonik ke-100 berada di 88 kHz, jauh di atas pendengaran dan di atas kemampuan perangkat audio; peramban membuangnya.

Kapan tidak lagi tepat

• Sinyal yang tidak berulang tidak punya deret Fourier; sinyal itu butuh transformasi Fourier, sebaran frekuensi yang kontinu. Bunyi singkat punya spektrum yang menyebar, itulah sebabnya bunyi klik tidak punya nada.
• Data tercuplik. Sinyal sungguhan yang diukur pada laju terbatas tidak bisa mewakili frekuensi di atas setengah laju itu (batas Nyquist); frekuensi yang lebih tinggi terlipat kembali sebagai frekuensi rendah palsu (aliasing).
• Alat musik sungguhan bukan gelombang ideal: harmoniknya tidak persis kelipatan bulat (senar piano kaku), berubah sepanjang nada, dan serangan awalnya membawa banyak karakter, seperti yang ditunjukkan Penyetem Alat Musik saat membaca nada sungguhan.
• Fungsi patologis. Ada fungsi kontinu yang deret Fouriernya divergen di beberapa titik; untuk apa pun yang digambar atau direkam, hal ini tidak pernah berpengaruh dalam praktik.

Alat terkait

Simulator Gelombang Berdiri menunjukkan harmonik yang bisa ditampung senar atau pipa, dan Pembangkit Nada memutar gelombang sinus, kotak, gigi gergaji, dan segitiga pada frekuensi berapa pun untuk dibandingkan dengan telinga.