Papannya
Papan Galton adalah papan berisi pasak dalam baris berselang-seling di atas sederet kotak. Bola yang dijatuhkan dari atas mengenai satu pasak di setiap baris, memantul ke kiri atau ke kanan, dan jatuh ke kotak yang sesuai dengan berapa kali ia ke kanan. Francis Galton membuatnya pada tahun 1870-an untuk menunjukkan bagaimana keteraturan muncul dari kebetulan: jalur setiap bola tak terduga, tetapi ribuan bola selalu membentuk tumpukan berbentuk lonceng yang sama.
Rumus binomial
Dengan n baris dan peluang p untuk ke kanan di setiap pasak, peluang jatuh di kotak k (k kali ke kanan dari n) adalah
P(k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k
C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) menghitung jalur yang berakhir di kotak k, dan pk(1 − p)n − k adalah peluang masing-masing jalur.
Contoh: 12 baris, p = 0,5. Kotak tengah, k = 6, punya C(12, 6) = 924 jalur, masing-masing berpeluang 0,512 = 1 ÷ 4.096, jadi P(6) = 924 ÷ 4.096 = 22,6%. Kotak tepi punya satu jalur: 1 ÷ 4.096 = 0,024%. Dari 1.000 bola, sekitar 226 jatuh di tengah dan tidak ada, atau mungkin satu, di tiap tepi.
Rata-rata dan simpangan baku
μ = n p dan σ = √(n p (1 − p))
Untuk 12 baris dengan p = 0,5, μ = 6 dan σ = √3 = 1,73. Pada distribusi normal 68% berada dalam satu σ dari rata-rata dan 95% dalam dua σ; pada papan ini kotak 5 sampai 7 menampung 61% bola, karena kotaknya bilangan bulat dan satu σ tidak sepenuhnya mencapai kotak 4 dan 8. σ hanya tumbuh seiring √n, jadi papan dengan baris empat kali lebih banyak punya tumpukan dua kali lebih lebar, tetapi relatif terhadap lebar papan hanya separuhnya.
Pendekatan normal
Untuk n besar, binomial mendekati kurva normal dengan rata-rata dan simpangan baku yang sama, f(x) = e−(x − μ)²/2σ² ÷ (σ√(2π)). Aturan umum menyatakan pendekatan ini berlaku bila n p dan n (1 − p) keduanya minimal 5 (beberapa buku menyebut 10). Dengan p = 0,1 dan 12 baris, n p = 1,2: tumpukan menempel ke tepi kiri dan miring (kemencengan (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), dan lonceng yang simetris tidak cocok.
Teorema limit pusat
Setiap pantulan menambahkan langkah acak kecil, dan kotaknya adalah jumlahnya. Teorema limit pusat menyatakan bahwa jumlah banyak besaran acak yang saling bebas mendekati distribusi normal, apa pun distribusi masing-masing, asalkan sebarannya terhingga. Dadu menunjukkannya dengan baik. Satu dadu datar: setiap sisi 1 dari 6. Dua dadu membentuk segitiga dengan puncak di 7. Jumlah n dadu memiliki rata-rata 3,5 n dan varians 35 n ÷ 12, dan pada lima atau enam dadu sulit dibedakan dari lonceng. Karena itulah tinggi badan, galat pengukuran, dan nilai ujian, masing-masing jumlah dari banyak pengaruh kecil, begitu sering tampak normal.
Menguji tumpukan: khi-kuadrat
Apakah tumpukan sesuai dengan binomial, atau papannya berat sebelah? Bandingkan jumlah teramati O dengan jumlah harapan E = N × P(k) memakai
χ2 = Σ (O − E)2 ÷ E
Gabungkan kotak yang bertetangga sampai masing-masing diharapkan berisi minimal 5 bola, lalu pakai kotak − 1 derajat bebas. Nilai p adalah peluang mendapatkan χ2 sebesar ini bila papannya adil. Contoh: 200 bola pada papan 4 baris dengan p = 0,5 diharapkan 12,5, 50, 75, 50, 12,5. Teramati 15, 44, 80, 47, 14: χ2 = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 dengan 4 derajat bebas, p = 0,75, sepenuhnya sesuai dengan kebetulan.
Memakai simulasi
Simulator Papan Galton menjatuhkan bola terus-menerus. Batang menunjukkan bagian di setiap kotak, garis putus-putus distribusi yang tepat, dan kurva hijau distribusi normal. Di bawah gambar ada rata-rata dan simpangan baku sampel di samping nilai harapannya, serta uji khi-kuadrat. Yang bisa dicoba:
- Perhatikan rata-rata sampel di grafik dari waktu ke waktu: mula-mula naik turun, lalu stabil ke arah μ, dengan galat yang mengecil seperti σ ÷ √N.
- Atur p ke 0,15 dengan 6 baris: tumpukannya miring dan kurva normal meleset. Naikkan ke 20 baris dan tumpukannya kembali menjadi lonceng.
- Beralih ke dadu dan ubah n dari 1 sampai 6: datar, segitiga, lalu lonceng.
- Biarkan berjalan dan perhatikan nilai p: pada papan yang adil nilainya berkeliaran antara 0 dan 1 dan turun di bawah 0,05 sekitar satu kali dari dua puluh.
Apa yang diasumsikan model
- Pantulan yang saling bebas dengan p yang sama. Setiap pasak adalah lemparan koin baru, tidak dipengaruhi yang sebelumnya. Itulah definisi proses binomial.
- Tepat satu pantulan per baris. Bola selalu mengenai pasak berikutnya dan bergeser setengah jarak pasak ke kiri atau ke kanan; bola tidak pernah melompati baris atau memantul dua kali.
- Bola tidak saling memengaruhi. Bola saling tembus dan tidak pernah macet atau saling dorong.
- Dadu yang adil, setiap sisi tepat 1 dari 6, dalam mode dadu.
- Pembangkit bilangan acak semu berperan sebagai kebetulan. Pembangkit ini jauh lebih seragam daripada yang dibutuhkan papan sungguhan.
Kasus batas
- Satu baris adalah satu lemparan koin: dua kotak dengan bagian 1 − p dan p, dan kurva lonceng tidak bermakna.
- p dekat 0 atau 1: hampir setiap bola mengambil jalur tepi yang sama; distribusinya miring dan lebih mirip distribusi Poisson dengan rata-rata n p.
- Sedikit bola: dengan kurang dari beberapa puluh bola tumpukannya bergerigi dan uji khi-kuadrat punya terlalu sedikit bola per kotak; uji ini menunggu sedikitnya dua kotak dengan harapan 5.
- Satu dadu memberi distribusi datar tanpa puncak, kebalikan dari lonceng, dan justru titik awal kerja teorema limit pusat.
Di mana model tidak lagi berlaku
- Papan Galton sungguhan tidak ideal. Bola punya momentum: setelah ke kanan, sedikit lebih mungkin ke kanan lagi, jadi pantulannya berkorelasi dan tumpukannya lebih lebar daripada binomial. Bola juga bisa melompati pasak atau macet.
- Tidak semuanya jumlah. Besaran yang berasal dari perkalian banyak faktor, seperti pendapatan atau ukuran partikel, berdistribusi lognormal, miring dengan ekor panjang; teorema limit pusat berlaku pada logaritmanya.
- Ekor berat. Bila langkah-langkah individualnya tidak memiliki varians terhingga (misalnya distribusi Cauchy), jumlahnya tidak pernah menjadi normal.
- Ketergantungan. Pergerakan harga saham, epidemi, dan proses lain di mana satu kejadian mengubah kejadian berikutnya tidak mengikuti binomial; memperlakukannya sebagai lemparan koin yang saling bebas meremehkan nilai ekstremnya.
- Kurva normal itu kontinu dan tak terbatas, padahal kotaknya bilangan bulat dari 0 sampai n; jauh di ekor kurva ini memberi peluang kecil tetapi mustahil di bawah 0 atau di atas n.
Alat terkait
Hitung rata-rata, simpangan baku, dan galat baku datamu sendiri dengan Kalkulator Simpangan Baku (dan Simpangan baku dan galat baku), lempar koin sungguhan dengan Lempar koin dan dadu dengan Lempar dadu; Peluang Dadu: Kemungkinan Setiap Lemparan menghitung peluangnya secara manual.