A distribuição binomial, a curva em sino e o tabuleiro de Galton

O tabuleiro

Um tabuleiro de Galton é uma placa de pinos em fileiras alternadas acima de uma fileira de compartimentos. Uma bola solta no topo bate num pino em cada fileira e vai para a esquerda ou para a direita, e cai no compartimento que corresponde a quantas vezes foi para a direita. Francis Galton construiu um na década de 1870 para mostrar como a ordem surge do acaso: o caminho de cada bola é imprevisível, mas milhares de bolas sempre formam a mesma pilha em forma de sino.

A fórmula binomial

Com n fileiras e uma chance p de ir para a direita em cada pino, a probabilidade de cair no compartimento k (k direitas em n) é

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) conta os caminhos que terminam no compartimento k, e p^k(1 − p)^{n − k} é a chance de cada um.

Exemplo: 12 fileiras, p = 0,5. O compartimento do meio, k = 6, tem C(12, 6) = 924 caminhos, cada um com chance 0,5¹² = 1 ÷ 4.096, então P(6) = 924 ÷ 4.096 = 22,6 %. Um compartimento da ponta tem um caminho: 1 ÷ 4.096 = 0,024 %. De 1.000 bolas, espere cerca de 226 no meio e nenhuma, ou talvez uma, em cada ponta.

Média e desvio padrão

μ = n p e σ = √(n p (1 − p))

Para 12 fileiras com p = 0,5, μ = 6 e σ = √3 = 1,73. Numa distribuição normal 68 % ficam a menos de um σ da média e 95 % a menos de dois; neste tabuleiro os compartimentos 5 a 7 recebem 61 % das bolas, porque os compartimentos são números inteiros e um σ não chega bem aos compartimentos 4 e 8. σ cresce só como √n, então um tabuleiro com quatro vezes mais fileiras tem uma pilha com o dobro da largura, mas, em relação à largura do tabuleiro, com metade.

A aproximação normal

Para n grande a binomial fica próxima da curva normal com a mesma média e o mesmo desvio padrão, f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π)). Uma regra comum diz que ela funciona quando n p e n (1 − p) são ambos pelo menos 5 (alguns livros dizem 10). Com p = 0,1 e 12 fileiras, n p = 1,2: a pilha se espreme contra a borda esquerda e fica torta (assimetria (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), e o sino simétrico se ajusta mal.

O teorema central do limite

Cada quique acrescenta um pequeno passo aleatório, e o compartimento é a soma deles. O teorema central do limite diz que a soma de muitas quantidades aleatórias independentes se aproxima de uma distribuição normal, qualquer que seja a distribuição de cada uma, desde que tenha dispersão finita. Os dados mostram isso bem. Um dado é plano: cada face 1 em 6. Dois dados formam um triângulo com pico em 7. A soma de n dados tem média 3,5 n e variância 35 n ÷ 12, e com cinco ou seis dados fica difícil distingui-la de um sino. Por isso alturas, erros de medida e notas de provas, cada um soma de muitas pequenas influências, parecem tão frequentemente normais.

Testar uma pilha: qui-quadrado

A pilha é compatível com a binomial ou o tabuleiro está viciado? Compare as contagens observadas O com as esperadas E = N × P(k) usando

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

Junte compartimentos vizinhos até cada um esperar pelo menos 5 bolas, e use compartimentos − 1 graus de liberdade. O valor p é a chance de um χ² desse tamanho se o tabuleiro for justo. Exemplo: 200 bolas num tabuleiro de 4 fileiras com p = 0,5 esperam 12,5, 50, 75, 50, 12,5. Observam-se 15, 44, 80, 47, 14: χ² = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 com 4 graus de liberdade, p = 0,75, totalmente compatível com o acaso.

Como usar a simulação

O Simulador do tabuleiro de Galton solta bolas sem parar. As barras mostram a fração em cada compartimento, a linha tracejada a distribuição exata e a curva verde a normal. Abaixo da imagem ficam a média e o desvio padrão amostrais ao lado dos esperados, e o teste qui-quadrado. O que testar:

• Observe a média amostral no gráfico ao longo do tempo: no começo ela oscila e depois se acomoda em μ, com um erro que encolhe como σ ÷ √N.
• Ponha p em 0,15 com 6 fileiras: a pilha fica torta e a curva normal erra. Suba para 20 fileiras e ela volta a ser um sino.
• Mude para dados e leve n de 1 a 6: plano, triângulo e depois sino.
• Deixe rodar e observe o valor p: num tabuleiro justo ele vagueia entre 0 e 1 e cai abaixo de 0,05 cerca de uma vez em vinte.

O que o modelo supõe

• Quiques independentes com o mesmo p. Cada pino é um novo cara ou coroa, sem influência do anterior. Essa é a definição de um processo binomial.
• Exatamente um quique por fileira. A bola sempre bate no pino seguinte e se move meio espaçamento para a esquerda ou para a direita; nunca pula uma fileira nem quica duas vezes.
• As bolas não interagem. Elas atravessam umas às outras e nunca travam nem se empurram.
• Dados justos, cada face exatamente 1 em 6, no modo de dados.
• Um gerador de números pseudoaleatórios faz o papel do acaso. Ele é muito mais uniforme do que qualquer tabuleiro real precisaria.

Casos-limite

• Uma fileira é um único cara ou coroa: dois compartimentos, com frações 1 − p e p, e a curva em sino não tem sentido.
• p perto de 0 ou 1: quase toda bola segue o mesmo caminho da borda; a distribuição é assimétrica e mais parecida com uma de Poisson de média n p.
• Poucas bolas: com menos de algumas dezenas a pilha fica irregular e o teste qui-quadrado tem bolas de menos por compartimento; ele espera pelo menos dois compartimentos com 5 esperadas.
• Um dado dá uma distribuição plana sem pico, o oposto de um sino, que é o ponto de partida do teorema central do limite.

Onde o modelo deixa de valer

• Tabuleiros de Galton reais não são ideais. Uma bola tem embalo: depois de ir para a direita, é um pouco mais provável que vá de novo para a direita, então os quiques são correlacionados e a pilha sai mais larga que a binomial. As bolas também podem pular pinos ou travar.
• Nem tudo é soma. Quantidades que vêm da multiplicação de muitos fatores, como rendas ou tamanhos de partículas, são lognormais, assimétricas com uma cauda longa; o teorema central do limite vale para seus logaritmos.
• Caudas pesadas. Se os passos individuais não têm variância finita (uma distribuição de Cauchy, por exemplo), a soma nunca fica normal.
• Dependência. Movimentos da bolsa, epidemias e outros processos em que um evento muda o seguinte não seguem a binomial; tratá-los como moedas independentes subestima os extremos.
• A curva normal é contínua e ilimitada, mas os compartimentos são números inteiros de 0 a n; bem longe nas caudas ela dá chances pequenas, porém impossíveis, abaixo de 0 ou acima de n.

Ferramentas relacionadas

Calcule a média, o desvio padrão e o erro padrão dos seus próprios dados com a Calculadora de desvio padrão (e Desvio padrão e erro padrão), jogue moedas de verdade com Cara ou coroa e dados com Rolar dados; Probabilidade dos dados: as chances de cada jogada calcula as chances à mão.