Simulador do tabuleiro de Galton
Equações desta simulação
| n | Fileiras de pinos, ou número de dados, n | cada fileira é uma tentativa de sim ou não: quicar para a direita ou para a esquerda | |
|---|---|---|---|
| p | Chance de quicar para a direita p | igual em todo pino, e cada quique independente do anterior | |
| k | número de quiques para a direita | em que compartimento a bola cai, contando da esquerda; C(n, k) é o número de caminhos que terminam ali | |
| P(k) | probabilidade binomial de cair no compartimento k | muito mais caminhos levam aos compartimentos do meio, por isso eles enchem |
Com os valores atuais:
| μ | média esperada | o compartimento em torno do qual a pilha se centra | |
|---|---|---|---|
| σ | desvio padrão esperado | cresce só com a raiz quadrada de n, então com mais fileiras a pilha fica relativamente mais estreita |
Com os valores atuais:
| f | curva normal com a mesma μ e σ | uma boa substituta da binomial quando n p e n (1 − p) passam ambos de cerca de 5; com p perto de 0 ou 1 e poucas fileiras a pilha fica torta e a curva não se ajusta |
|---|
Com os valores atuais:
| O, E | contagens observadas e esperadas em cada compartimento | compartimentos com menos de 5 bolas esperadas são antes unidos aos vizinhos | |
|---|---|---|---|
| χ² | estatística qui-quadrado | quanto a pilha se afasta da binomial; o valor p é a chance de uma diferença pelo menos desse tamanho só por acaso |
Com os valores atuais:
| n dados | Fileiras de pinos, ou número de dados, n | um dado é plano, dois formam um triângulo, e com cinco ou seis a soma já parece um sino: o teorema central do limite |
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Com os valores atuais:
| N | bolas soltas até agora | a média amostral se afasta cada vez menos de μ conforme N cresce, como mostra o gráfico da média ao longo do tempo |
|---|
Com os valores atuais:
Como usar o simulador do tabuleiro de Galton
- As bolas caem do topo e quicam para a esquerda ou para a direita em cada pino. Cada uma cai num compartimento que conta quantas vezes ela foi para a direita, e as barras crescem até formar um sino. A linha tracejada é a distribuição binomial exata e a curva verde a distribuição normal com a mesma média e o mesmo desvio padrão.
- Mude o número de fileiras e a chance de quicar para a direita, o que esvazia o tabuleiro e recomeça. Com p longe de 0,5 e poucas fileiras a pilha fica torta e a curva normal se ajusta mal; com mais fileiras ela volta a ser um sino. O teste qui-quadrado e seu valor p dizem se a pilha é compatível com a binomial, e os gráficos ao longo do tempo mostram a média amostral se acomodando conforme mais bolas caem.
- Mude para a soma de dados: um dado dá uma distribuição plana e dois um triângulo, mas com cinco ou seis dados a soma já tem forma de sino, o teorema central do limite. Role dados de verdade com Rolar dados e calcule a média e o desvio padrão dos seus próprios dados com a Calculadora de desvio padrão.
Perguntas frequentes
O que é um tabuleiro de Galton?
Um tabuleiro de pinos em fileiras alternadas, inventado por Francis Galton na década de 1870 e também chamado de máquina de feijões ou quincunx. Cada bola escolhe esquerda ou direita em cada fileira, então o compartimento onde cai conta seus quiques para a direita, e a pilha embaixo segue a distribuição binomial. Com muitas fileiras ela parece a curva normal.
Por que as bolas se empilham no meio?
Há muito mais caminhos para os compartimentos do meio do que para as bordas. Com 12 fileiras só um caminho, sempre para a esquerda, leva ao compartimento da ponta esquerda, mas 924 caminhos diferentes levam ao do meio. Com chances iguais cada caminho é igualmente provável, então o compartimento do meio recebe 924 vezes mais bolas que um da ponta: C(n, k) maneiras de chegar ao compartimento k.
O que é o teorema central do limite?
A soma (ou a média) de muitas quantidades aleatórias independentes tende a uma distribuição normal, qualquer que seja a distribuição de cada uma, desde que tenha dispersão finita. Cada pino é um pequeno passo aleatório de mais ou menos um, e os dados sozinhos são planos, mas os dois somam uma curva em sino. É por isso que a distribuição normal aparece tanto em medições.
Quantas bolas preciso para a pilha ficar certa?
A dispersão aleatória em cada compartimento é mais ou menos a raiz quadrada da contagem, então um compartimento que espera 100 bolas costuma errar por 10 (10 %), e um que espera 10.000 por 100 (1 %). Algumas centenas de bolas mostram a forma; são precisos milhares para ela ficar lisa. Num tabuleiro justo, o valor p do qui-quadrado deve cair em qualquer ponto entre 0 e 1, e abaixo de 0,05 cerca de uma vez em vinte.
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Alguma coisa é enviada?
Não. A simulação é desenhada pelo seu próprio navegador com WebGL; nada é enviado a lugar nenhum, e ela continua funcionando offline depois que a página carrega.