ゴルトンボード シミュレーター
このシミュレーションの式
| n | 釘の段数、またはサイコロの個数 n | 各段は「はい」か「いいえ」の試行: 右か左にはね返る | |
|---|---|---|---|
| p | 右にはね返る確率 p | どの釘でも同じで、各はね返りは前のものと独立 | |
| k | 右にはね返った回数 | 玉が入るビン (左から数える); C(n, k) はそこで終わる経路の数 | |
| P(k) | ビン k に入る二項確率 | 中央のビンにつながる経路のほうがずっと多いので、そこが埋まる |
現在の値を入れると：
| μ | 期待される平均 | 山の中心になるビン | |
|---|---|---|---|
| σ | 期待される標準偏差 | n の平方根でしか増えないので、段が多いほど山は相対的に細くなる |
現在の値を入れると：
| f | 同じ μ と σ の正規曲線 | n p と n (1 − p) がどちらも約 5 を超えれば二項分布のよい代わりになる; p が 0 や 1 に近く段が少ないと山は偏り、曲線は合わない |
|---|
現在の値を入れると：
| O, E | 各ビンの観測度数と期待度数 | 期待される玉が 5 個未満のビンは、先に隣のビンとまとめる | |
|---|---|---|---|
| χ² | カイ二乗統計量 | 山が二項分布からどれだけ離れているか; p 値は、偶然だけで少なくともこれだけの差が出る確率 |
現在の値を入れると：
| サイコロ n 個 | 釘の段数、またはサイコロの個数 n | サイコロ 1 個は平ら、2 個で三角形、5〜6 個で合計はもう釣り鐘形に見える: 中心極限定理 |
|---|
現在の値を入れると：
| N | これまでに落とした玉 | N が増えるにつれて標本平均は μ からあまり離れなくなる。平均の時間変化のグラフで確かめられる |
|---|
現在の値を入れると：
ゴルトンボード シミュレーターの使い方
- 玉は上から落ち、各釘で左か右にはね返ります。それぞれの玉は右に行った回数を数えるビンに入り、棒グラフは釣り鐘形に伸びていきます。破線は厳密な二項分布、緑の曲線は同じ平均と標準偏差をもつ正規分布です。
- 段数と右にはね返る確率を変えると、ボードが空になって最初からやり直します。p が 0.5 から遠く段数が少ないと山は偏り、正規曲線はうまく合いません。段数を増やすと再び釣り鐘形になります。カイ二乗検定とその p 値は山が二項分布と矛盾しないかを示し、時間変化のグラフでは玉が増えるにつれて標本平均が落ち着いていく様子がわかります。
- サイコロの目の合計に切り替えてください: サイコロ 1 個では平らな分布、2 個では三角形ですが、5〜6 個になると合計はもう釣り鐘形です。これが中心極限定理です。本物のサイコロは サイコロ で振れます。自分のデータの平均と標準偏差は 標準偏差の計算 で求められます。
よくある質問
ゴルトンボードとは何ですか?
互い違いの列に釘を並べたボードで、1870 年代にフランシス・ゴルトンが考案し、ビーンマシンやクインカンクスとも呼ばれます。各玉は列ごとに左か右を選ぶので、入ったビンは右にはね返った回数を数えたことになり、下にできる山は二項分布に従います。段数が多いと正規曲線のように見えます。
玉はなぜ中央に集まるのですか?
端よりも中央のビンにつながる経路の方がずっと多いからです。12 段なら、いちばん左のビンへの経路はすべて左に行く 1 通りだけですが、中央のビンへの経路は 924 通りあります。確率が等しければどの経路も同じだけ起こりやすいので、中央のビンには端のビンの 924 倍の玉が入ります: ビン k に至る方法は C(n, k) 通りです。
中心極限定理とは何ですか?
独立した多くの確率的な量の和 (または平均) は、それぞれがどんな分布であっても、ばらつきが有限であれば正規分布に近づくという定理です。釘はそれぞれ +1 か −1 の小さな確率的な一歩で、サイコロ 1 個は平らな分布ですが、どちらも足し合わせると釣り鐘形になります。測定値に正規分布がよく現れるのはこのためです。
山が正しく見えるには玉がいくつ必要ですか?
各ビンの偶然のばらつきはその度数の平方根程度なので、100 個入るはずのビンは通常 10 個 (10%)、10,000 個なら 100 個 (1%) ずれます。数百個で形がわかり、なめらかに見えるには数千個が必要です。公平なボードなら、カイ二乗検定の p 値は 0 から 1 のどこにでもなり、約 20 回に 1 回は 0.05 を下回ります。
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何かアップロードされますか？
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