Simulador del tablero de Galton
Ecuaciones de esta simulación
| n | Filas de clavos, o número de dados, n | cada fila es un ensayo de sí o no: rebotar a la derecha o a la izquierda | |
|---|---|---|---|
| p | Probabilidad de rebotar a la derecha p | igual en cada clavo, y cada rebote independiente del anterior | |
| k | número de rebotes a la derecha | en qué casilla cae la bola, contando desde la izquierda; C(n, k) es el número de caminos que terminan ahí | |
| P(k) | probabilidad binomial de caer en la casilla k | a las casillas centrales llevan muchos más caminos, por eso se llenan |
Con los valores actuales:
| μ | media esperada | la casilla alrededor de la que se centra el montón | |
|---|---|---|---|
| σ | desviación estándar esperada | crece solo como la raíz cuadrada de n, así que con más filas el montón es relativamente más estrecho |
Con los valores actuales:
| f | curva normal con la misma μ y σ | un buen sustituto de la binomial cuando n p y n (1 − p) superan ambos 5 aproximadamente; con p cerca de 0 o 1 y pocas filas el montón queda torcido y la curva no encaja |
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Con los valores actuales:
| O, E | recuentos observados y esperados en cada casilla | las casillas en las que se esperan menos de 5 bolas se unen antes con sus vecinas | |
|---|---|---|---|
| χ² | estadístico chi cuadrado | cuánto se aleja el montón de la binomial; el valor p es la probabilidad de una diferencia al menos así de grande solo por azar |
Con los valores actuales:
| n dados | Filas de clavos, o número de dados, n | un dado es plano, dos forman un triángulo, y con cinco o seis la suma ya parece una campana: el teorema central del límite |
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Con los valores actuales:
| N | bolas lanzadas hasta ahora | la media muestral se aleja cada vez menos de μ a medida que crece N, como muestra el gráfico de la media en el tiempo |
|---|
Con los valores actuales:
Cómo usar el simulador del tablero de Galton
- Las bolas caen desde arriba y rebotan a la izquierda o a la derecha en cada clavo. Cada una cae en una casilla que cuenta cuántas veces fue a la derecha, y las barras crecen hasta formar una campana. La línea discontinua es la distribución binomial exacta y la curva verde la distribución normal con la misma media y desviación estándar.
- Cambia el número de filas y la probabilidad de rebotar a la derecha, lo que vacía el tablero y empieza de nuevo. Con p lejos de 0,5 y pocas filas el montón queda torcido y la curva normal encaja mal; con más filas vuelve a ser una campana. La prueba de chi cuadrado y su valor p dicen si el montón es compatible con la binomial, y los gráficos en el tiempo muestran cómo se asienta la media muestral a medida que caen más bolas.
- Cambia a la suma de dados: un dado da una distribución plana y dos un triángulo, pero con cinco o seis dados la suma ya tiene forma de campana, el teorema central del límite. Lanza dados de verdad con el Lanzador de dados y calcula la media y la desviación estándar de tus propios datos con la Calculadora de desviación estándar.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un tablero de Galton?
Un tablero de clavos en filas alternas, inventado por Francis Galton en la década de 1870 y también llamado máquina de frijoles o quincunx. Cada bola elige izquierda o derecha en cada fila, así que la casilla donde cae cuenta sus rebotes a la derecha, y el montón de abajo sigue la distribución binomial. Con muchas filas se parece a la curva normal.
¿Por qué las bolas se amontonan en el centro?
Hay muchos más caminos hacia las casillas centrales que hacia los bordes. Con 12 filas solo un camino, todo a la izquierda, lleva a la casilla del extremo izquierdo, pero 924 caminos distintos llevan a la central. Con probabilidades iguales cada camino es igual de probable, así que la casilla central recibe 924 veces más bolas que una del extremo: C(n, k) maneras de llegar a la casilla k.
¿Qué es el teorema central del límite?
La suma (o la media) de muchas cantidades aleatorias independientes tiende a una distribución normal, sea cual sea la distribución de cada una, siempre que tenga una dispersión finita. Cada clavo es un pequeño paso aleatorio de más o menos uno, y los dados por sí solos son planos, pero ambos suman una campana. Por eso la distribución normal aparece tan a menudo en las mediciones.
¿Cuántas bolas hacen falta para que el montón se vea bien?
La dispersión aleatoria en cada casilla es aproximadamente la raíz cuadrada de su recuento, así que una casilla que espera 100 bolas suele desviarse en 10 (10 %), y una que espera 10.000 en 100 (1 %). Unos cientos de bolas muestran la forma; hacen falta miles para que se vea suave. En un tablero justo, el valor p de chi cuadrado debería caer en cualquier punto entre 0 y 1, y por debajo de 0,05 una de cada veinte veces.
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