Simulateur de planche de Galton
Équations de cette simulation
| n | Rangées de clous, ou nombre de dés, n | chaque rangée est une épreuve oui ou non : rebondir à droite ou à gauche | |
|---|---|---|---|
| p | Probabilité de rebondir à droite p | la même à chaque clou, et chaque rebond indépendant du précédent | |
| k | nombre de rebonds vers la droite | la case où tombe la bille, comptée depuis la gauche ; C(n, k) est le nombre de chemins qui y mènent | |
| P(k) | probabilité binomiale de tomber dans la case k | bien plus de chemins mènent aux cases du milieu, c'est pourquoi elles se remplissent |
Avec les valeurs actuelles :
| μ | moyenne attendue | la case autour de laquelle le tas se centre | |
|---|---|---|---|
| σ | écart-type attendu | ne croît que comme la racine carrée de n, donc avec plus de rangées le tas est relativement plus étroit |
Avec les valeurs actuelles :
| f | courbe normale de mêmes μ et σ | une bonne approximation de la binomiale quand n p et n (1 − p) dépassent tous deux environ 5 ; avec p proche de 0 ou 1 et peu de rangées, le tas est dissymétrique et la courbe colle mal |
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Avec les valeurs actuelles :
| O, E | effectifs observés et attendus dans chaque case | les cases où l'on attend moins de 5 billes sont d'abord regroupées avec leurs voisines | |
|---|---|---|---|
| χ² | statistique du khi-deux | l'écart entre le tas et la binomiale ; la valeur p est la probabilité d'un écart au moins aussi grand par le seul hasard |
Avec les valeurs actuelles :
| n dés | Rangées de clous, ou nombre de dés, n | un dé est plat, deux forment un triangle, et dès cinq ou six la somme ressemble déjà à une cloche : le théorème central limite |
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Avec les valeurs actuelles :
| N | billes lâchées jusqu'ici | la moyenne de l'échantillon s'écarte de moins en moins de μ quand N augmente, comme le montre le graphique de la moyenne au fil du temps |
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Avec les valeurs actuelles :
Comment utiliser le simulateur de planche de Galton
- Les billes tombent du haut et rebondissent à gauche ou à droite sur chaque clou. Chacune atterrit dans une case qui compte combien de fois elle est allée à droite, et les barres grandissent en forme de cloche. La ligne pointillée est la loi binomiale exacte et la courbe verte la loi normale de même moyenne et de même écart-type.
- Changez le nombre de rangées et la probabilité de rebondir à droite, ce qui vide la planche et recommence. Avec p loin de 0,5 et peu de rangées, le tas est dissymétrique et la courbe normale colle mal ; avec plus de rangées il redevient une cloche. Le test du khi-deux et sa valeur p disent si le tas est compatible avec la binomiale, et les graphiques au fil du temps montrent la moyenne de l'échantillon se stabiliser à mesure que les billes tombent.
- Passez à la somme de dés : un dé donne une distribution plate et deux un triangle, mais dès cinq ou six dés la somme a déjà une forme de cloche, le théorème central limite. Lancez de vrais dés avec le Lancer de dés et calculez la moyenne et l'écart-type de vos propres données avec le Calcul d'écart type.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une planche de Galton ?
Une planche de clous en rangées décalées, inventée par Francis Galton dans les années 1870 et aussi appelée quinconce. Chaque bille choisit gauche ou droite à chaque rangée, donc la case où elle tombe compte ses rebonds à droite, et le tas en bas suit la loi binomiale. Avec beaucoup de rangées, il ressemble à la courbe normale.
Pourquoi les billes s'entassent-elles au milieu ?
Il y a beaucoup plus de chemins vers les cases du milieu que vers les bords. Avec 12 rangées, un seul chemin, tout à gauche, mène à la case la plus à gauche, mais 924 chemins différents mènent à celle du milieu. À chances égales, chaque chemin est aussi probable, donc la case du milieu reçoit 924 fois plus de billes qu'une case du bord : C(n, k) façons d'atteindre la case k.
Qu'est-ce que le théorème central limite ?
La somme (ou la moyenne) de nombreuses quantités aléatoires indépendantes tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de chacune, pourvu qu'elle ait une dispersion finie. Chaque clou est un petit pas aléatoire de plus ou moins un, et les dés seuls sont plats, mais les deux s'additionnent en une cloche. C'est pourquoi la loi normale apparaît si souvent dans les mesures.
Combien de billes faut-il pour que le tas soit juste ?
La dispersion aléatoire dans chaque case vaut à peu près la racine carrée de son effectif : une case qui attend 100 billes s'écarte typiquement de 10 (10 %), une qui en attend 10 000 de 100 (1 %). Quelques centaines de billes montrent la forme ; il en faut des milliers pour qu'elle paraisse lisse. Pour une planche équitable, la valeur p du khi-deux tombe n'importe où entre 0 et 1, et sous 0,05 environ une fois sur vingt.
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