Galtonbrett-Simulator
Gleichungen in dieser Simulation
| n | Stiftreihen oder Anzahl der Würfel, n | jede Reihe ist ein Ja-oder-Nein-Versuch: rechts oder links abprallen | |
|---|---|---|---|
| p | Wahrscheinlichkeit, nach rechts abzuprallen, p | an jedem Stift gleich, und jeder Abprall unabhängig vom vorigen | |
| k | Anzahl der Abpraller nach rechts | in welchem Fach die Kugel landet, von links gezählt; C(n, k) ist die Zahl der Wege, die dort enden | |
| P(k) | Binomialwahrscheinlichkeit, in Fach k zu landen | zu den mittleren Fächern führen weit mehr Wege, darum füllen sie sich |
Mit den aktuellen Werten:
| μ | erwarteter Mittelwert | das Fach, um das sich der Haufen sammelt | |
|---|---|---|---|
| σ | erwartete Standardabweichung | wächst nur mit der Wurzel aus n, daher ist der Haufen bei mehr Reihen relativ schmaler |
Mit den aktuellen Werten:
| f | Normalverteilungskurve mit gleichem μ und σ | ein guter Ersatz für die Binomialverteilung, wenn n p und n (1 − p) beide über etwa 5 liegen; mit p nahe 0 oder 1 und wenigen Reihen ist der Haufen schief und die Kurve passt nicht |
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Mit den aktuellen Werten:
| O, E | beobachtete und erwartete Anzahl in jedem Fach | Fächer, in denen weniger als 5 Kugeln erwartet werden, werden vorher mit ihren Nachbarn zusammengelegt | |
|---|---|---|---|
| χ² | Chi-Quadrat-Statistik | wie weit der Haufen von der Binomialverteilung abweicht; der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit für eine mindestens so große Abweichung allein durch Zufall |
Mit den aktuellen Werten:
| n Würfel | Stiftreihen oder Anzahl der Würfel, n | ein Würfel ist flach, zwei ergeben ein Dreieck, und ab fünf oder sechs sieht die Summe schon wie eine Glocke aus: der zentrale Grenzwertsatz |
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Mit den aktuellen Werten:
| N | bisher gefallene Kugeln | der Stichprobenmittelwert weicht mit wachsendem N immer weniger von μ ab, wie das Diagramm des Mittelwerts über die Zeit zeigt |
|---|
Mit den aktuellen Werten:
So benutzt du den Galtonbrett-Simulator
- Kugeln fallen von oben und prallen an jedem Stift nach links oder rechts ab. Jede landet in einem Fach, das zählt, wie oft sie nach rechts ging, und die Balken wachsen zu einer Glockenform. Die gestrichelte Linie ist die exakte Binomialverteilung, die grüne Kurve die Normalverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung.
- Ändere die Zahl der Reihen und die Wahrscheinlichkeit, nach rechts abzuprallen; das Brett wird geleert und beginnt neu. Mit p weit von 0,5 und wenigen Reihen ist der Haufen schief und die Normalkurve passt schlecht; mit mehr Reihen wird er wieder zur Glocke. Der Chi-Quadrat-Test und sein p-Wert sagen, ob der Haufen zur Binomialverteilung passt, und die Diagramme über die Zeit zeigen, wie sich der Stichprobenmittelwert mit jeder weiteren Kugel einpendelt.
- Wechsle zur Augensumme von Würfeln: Ein Würfel gibt eine flache Verteilung, zwei ein Dreieck, aber ab fünf oder sechs Würfeln ist die Summe schon glockenförmig, der zentrale Grenzwertsatz. Wirf echte Würfel mit Würfeln und berechne Mittelwert und Standardabweichung deiner eigenen Daten mit dem Standardabweichung-Rechner.
Häufige Fragen
Was ist ein Galtonbrett?
Ein Brett mit Stiften in versetzten Reihen, von Francis Galton in den 1870er-Jahren erfunden und auch Galton-Nagelbrett oder Quincunx genannt. Jede Kugel entscheidet sich in jeder Reihe für links oder rechts, das Fach, in dem sie landet, zählt also ihre Rechts-Abpraller, und der Haufen unten folgt der Binomialverteilung. Bei vielen Reihen sieht er aus wie die Normalverteilung.
Warum häufen sich die Kugeln in der Mitte?
Zu den mittleren Fächern führen viel mehr Wege als zu den Rändern. Bei 12 Reihen führt nur ein Weg, immer links, ins Fach ganz links, aber 924 verschiedene Wege führen ins mittlere. Bei gleichen Chancen ist jeder Weg gleich wahrscheinlich, also bekommt das mittlere Fach 924-mal so viele Kugeln wie ein Randfach: C(n, k) Wege führen ins Fach k.
Was ist der zentrale Grenzwertsatz?
Die Summe (oder der Mittelwert) vieler unabhängiger Zufallsgrößen strebt einer Normalverteilung zu, egal wie jede einzelne verteilt ist, solange sie eine endliche Streuung hat. Jeder Stift ist ein winziger Zufallsschritt von plus oder minus eins, und die Würfel sind für sich flach, doch beide summieren sich zu einer Glockenkurve. Deshalb taucht die Normalverteilung bei Messungen so oft auf.
Wie viele Kugeln brauche ich, bis der Haufen stimmt?
Die zufällige Streuung in jedem Fach ist etwa die Wurzel aus seiner Anzahl, ein Fach, das 100 Kugeln erwartet, liegt also typischerweise um 10 daneben (10 %), eines mit 10.000 um 100 (1 %). Ein paar Hundert Kugeln zeigen die Form; für einen glatten Verlauf braucht es Tausende. Der Chi-Quadrat-p-Wert sollte bei einem fairen Brett irgendwo zwischen 0 und 1 liegen und etwa jedes zwanzigste Mal unter 0,05.
Es heißt, WebGL sei abgeschaltet.
Die 3D-Ansicht braucht WebGL, das jeder aktuelle Browser hat. Es kann abgeschaltet sein, wenn die Hardwarebeschleunigung in den Browsereinstellungen deaktiviert ist oder der Grafiktreiber sehr alt ist. Schalte die Hardwarebeschleunigung ein oder probier einen anderen Browser.
Wird etwas hochgeladen?
Nein. Die Simulation zeichnet dein eigener Browser mit WebGL; nichts wird irgendwohin gesendet, und sie läuft auch offline weiter, sobald die Seite geladen ist.