गाल्टन बोर्ड सिम्युलेटर
इस सिमुलेशन के समीकरण
| n | खूँटियों की पंक्तियाँ, या पासों की संख्या, n | हर पंक्ति एक हाँ-या-ना परीक्षण है: दाएँ या बाएँ उछलना | |
|---|---|---|---|
| p | दाईं ओर उछलने की संभावना p | हर खूँटी पर समान, और हर उछाल पिछले से स्वतंत्र | |
| k | दाईं ओर उछालों की संख्या | गेंद किस खाने में गिरती है, बाएँ से गिनकर; C(n, k) वहाँ ख़त्म होने वाले रास्तों की संख्या है | |
| P(k) | खाना k में गिरने की द्विपद संभावना | बीच के खानों तक कहीं ज़्यादा रास्ते जाते हैं, इसलिए वे भरते हैं |
मौजूदा मानों के साथ:
| μ | अपेक्षित माध्य | वह खाना जिसके आसपास ढेर केंद्रित होता है | |
|---|---|---|---|
| σ | अपेक्षित मानक विचलन | केवल n के वर्गमूल के साथ बढ़ता है, इसलिए ज़्यादा पंक्तियों में ढेर अपेक्षाकृत पतला होता है |
मौजूदा मानों के साथ:
| f | उसी μ और σ वाला प्रसामान्य वक्र | द्विपद का अच्छा विकल्प जब n p और n (1 − p) दोनों लगभग 5 से ऊपर हों; p के 0 या 1 के पास और कम पंक्तियों में ढेर तिरछा होता है और वक्र मेल नहीं खाता |
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मौजूदा मानों के साथ:
| O, E | हर खाने में प्रेक्षित और अपेक्षित गिनती | जिन खानों में 5 से कम गेंदें अपेक्षित हैं, उन्हें पहले पड़ोसियों के साथ मिला दिया जाता है | |
|---|---|---|---|
| χ² | काई-वर्ग सांख्यिकी | ढेर द्विपद से कितना दूर है; p-मान केवल संयोग से कम से कम इतने बड़े अंतर की संभावना है |
मौजूदा मानों के साथ:
| n पासे | खूँटियों की पंक्तियाँ, या पासों की संख्या, n | एक पासा सपाट है, दो त्रिभुज बनाते हैं, और पाँच या छह पर योग पहले ही घंटी जैसा दिखता है: केंद्रीय सीमा प्रमेय |
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मौजूदा मानों के साथ:
| N | अब तक गिराई गई गेंदें | N बढ़ने पर प्रतिदर्श माध्य μ से कम-कम भटकता है, जैसा समय के साथ माध्य का चार्ट दिखाता है |
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मौजूदा मानों के साथ:
गाल्टन बोर्ड सिम्युलेटर कैसे इस्तेमाल करें
- गेंदें ऊपर से गिरती हैं और हर खूँटी पर बाएँ या दाएँ उछलती हैं। हर गेंद उस खाने में गिरती है जो गिनता है कि वह कितनी बार दाईं ओर गई, और पट्टियाँ बढ़कर घंटी का आकार लेती हैं। धराशायी रेखा सटीक द्विपद वितरण है और हरा वक्र उसी माध्य और मानक विचलन वाला प्रसामान्य वितरण।
- पंक्तियों की संख्या और दाईं ओर उछलने की संभावना बदलें, जिससे बोर्ड खाली होकर फिर शुरू होता है। p के 0.5 से दूर होने और कम पंक्तियों पर ढेर तिरछा होता है और प्रसामान्य वक्र ठीक नहीं बैठता; ज़्यादा पंक्तियों पर वह फिर घंटी बन जाता है। काई-वर्ग परीक्षण और उसका p-मान बताते हैं कि ढेर द्विपद से मेल खाता है या नहीं, और समय के साथ चार्ट दिखाते हैं कि ज़्यादा गेंदें गिरने पर प्रतिदर्श माध्य स्थिर होता जाता है।
- पासों के योग पर जाएँ: एक पासा सपाट वितरण देता है और दो त्रिभुज, पर पाँच या छह पासों पर योग पहले ही घंटी जैसा हो जाता है, यही केंद्रीय सीमा प्रमेय है। असली पासे पासा फेंकें से फेंकें, और अपने आँकड़ों का माध्य और मानक विचलन मानक विचलन कैलकुलेटर से निकालें।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
गाल्टन बोर्ड क्या है?
एक-दूसरे से हटकर लगी पंक्तियों में खूँटियों वाला बोर्ड, जिसे फ़्रांसिस गाल्टन ने 1870 के दशक में बनाया था और जिसे बीन मशीन या क्विंकंक्स भी कहते हैं। हर गेंद हर पंक्ति में बाएँ या दाएँ चुनती है, इसलिए जिस खाने में वह गिरती है वह उसके दाएँ उछालों को गिनता है, और नीचे का ढेर द्विपद वितरण का पालन करता है। ज़्यादा पंक्तियों पर वह प्रसामान्य वक्र जैसा दिखता है।
गेंदें बीच में क्यों जमा होती हैं?
किनारों की तुलना में बीच के खानों तक कहीं ज़्यादा रास्ते जाते हैं। 12 पंक्तियों में सबसे बाएँ खाने तक केवल एक रास्ता है, हर बार बाएँ, पर बीच वाले तक 924 अलग रास्ते। बराबर संभावना पर हर रास्ता बराबर संभावित है, इसलिए बीच वाले खाने में किनारे वाले से 924 गुना गेंदें आती हैं: खाना k तक पहुँचने के C(n, k) तरीके।
केंद्रीय सीमा प्रमेय क्या है?
कई स्वतंत्र यादृच्छिक मात्राओं का योग (या माध्य) प्रसामान्य वितरण की ओर जाता है, चाहे हर एक का वितरण कुछ भी हो, बशर्ते उसका फैलाव सीमित हो। हर खूँटी धन या ऋण एक का छोटा यादृच्छिक कदम है, और अकेले पासे सपाट हैं, फिर भी दोनों जुड़कर घंटी वक्र बनाते हैं। इसीलिए मापों में प्रसामान्य वितरण इतनी बार दिखता है।
ढेर सही दिखने के लिए कितनी गेंदें चाहिए?
हर खाने में यादृच्छिक बिखराव लगभग उसकी गिनती का वर्गमूल होता है, इसलिए 100 गेंदों की अपेक्षा वाला खाना आम तौर पर 10 (10%) से हटता है, और 10,000 वाला 100 (1%) से। कुछ सौ गेंदें आकार दिखा देती हैं; चिकना दिखने के लिए हज़ारों चाहिए। निष्पक्ष बोर्ड पर काई-वर्ग p-मान 0 और 1 के बीच कहीं भी आ सकता है, और लगभग बीस में एक बार 0.05 से नीचे।
यह कहता है कि WebGL बंद है।
3D दृश्य के लिए WebGL चाहिए, जो हर आधुनिक ब्राउज़र में होता है। ब्राउज़र सेटिंग में हार्डवेयर एक्सेलरेशन बंद होने या बहुत पुराने ग्राफ़िक्स ड्राइवर से यह बंद हो सकता है। हार्डवेयर एक्सेलरेशन चालू करें या दूसरा ब्राउज़र आज़माएँ।
क्या कुछ अपलोड होता है?
नहीं। सिमुलेशन आपका अपना ब्राउज़र WebGL से बनाता है; कहीं कुछ नहीं भेजा जाता, और पेज लोड होने के बाद यह ऑफ़लाइन भी चलता रहता है।