बोर्ड
गाल्टन बोर्ड खानों की एक पंक्ति के ऊपर एक-दूसरे से हटकर लगी खूँटियों की पंक्तियों वाला बोर्ड है। ऊपर से छोड़ी गई गेंद हर पंक्ति में एक खूँटी से टकराती है, बाएँ या दाएँ जाती है, और उस खाने में गिरती है जो बताता है कि वह कितनी बार दाईं ओर गई। फ़्रांसिस गाल्टन ने 1870 के दशक में यह दिखाने के लिए इसे बनाया कि संयोग से व्यवस्था कैसे पैदा होती है: हर गेंद का रास्ता अप्रत्याशित है, पर हज़ारों गेंदें हमेशा वही घंटी जैसा ढेर बनाती हैं।
द्विपद सूत्र
n पंक्तियों और हर खूँटी पर दाएँ जाने की संभावना p के साथ, खाना k में गिरने (n में से k बार दाएँ) की प्रायिकता है
P(k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k
C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) खाना k पर ख़त्म होने वाले रास्ते गिनता है, और pk(1 − p)n − k हर एक की संभावना है।
उदाहरण: 12 पंक्तियाँ, p = 0.5। बीच वाले खाने, k = 6, के C(12, 6) = 924 रास्ते हैं, हर एक की संभावना 0.512 = 1 ÷ 4,096, तो P(6) = 924 ÷ 4,096 = 22.6%। किनारे के खाने का एक रास्ता है: 1 ÷ 4,096 = 0.024%। 1,000 गेंदों में से लगभग 226 बीच में और हर किनारे पर कोई नहीं, या शायद एक।
माध्य और मानक विचलन
μ = n p और σ = √(n p (1 − p))
p = 0.5 वाली 12 पंक्तियों के लिए μ = 6 और σ = √3 = 1.73। प्रसामान्य वितरण में 68% माध्य से एक σ के भीतर और 95% दो के भीतर होता है; इस बोर्ड पर खाने 5 से 7 में 61% गेंदें आती हैं, क्योंकि खाने पूर्ण संख्याएँ हैं और एक σ खाने 4 और 8 तक पूरा नहीं पहुँचता। σ केवल √n के साथ बढ़ता है, इसलिए चार गुना पंक्तियों वाले बोर्ड का ढेर दोगुना चौड़ा होता है, पर बोर्ड की चौड़ाई के सापेक्ष आधा।
प्रसामान्य सन्निकटन
बड़े n के लिए द्विपद उसी माध्य और मानक विचलन वाले प्रसामान्य वक्र के पास होता है, f(x) = e−(x − μ)²/2σ² ÷ (σ√(2π))। एक आम नियम कहता है कि यह तब काम करता है जब n p और n (1 − p) दोनों कम से कम 5 हों (कुछ किताबें 10 कहती हैं)। p = 0.1 और 12 पंक्तियों पर n p = 1.2: ढेर बाएँ किनारे से सट जाता है और तिरछा होता है (विषमता (1 − 2p) ÷ σ = 0.77), और सममित घंटी ठीक नहीं बैठती।
केंद्रीय सीमा प्रमेय
हर उछाल एक छोटा यादृच्छिक कदम जोड़ता है, और खाना उनका योग है। केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई स्वतंत्र यादृच्छिक मात्राओं का योग प्रसामान्य वितरण की ओर जाता है, चाहे हर एक का वितरण कुछ भी हो, बशर्ते उसका फैलाव सीमित हो। पासे इसे अच्छी तरह दिखाते हैं। एक पासा सपाट है: हर फलक 6 में 1। दो पासे 7 पर शिखर वाला त्रिभुज बनाते हैं। n पासों के योग का माध्य 3.5 n और प्रसरण 35 n ÷ 12 है, और पाँच-छह पासों पर उसे घंटी से अलग पहचानना मुश्किल है। इसीलिए लंबाई, माप की त्रुटियाँ और परीक्षा के अंक, जो कई छोटे प्रभावों का योग हैं, इतनी बार प्रसामान्य दिखते हैं।
ढेर की जाँच: काई-वर्ग
क्या ढेर द्विपद से मेल खाता है, या बोर्ड पक्षपाती है? प्रेक्षित गिनती O की तुलना अपेक्षित E = N × P(k) से करें:
χ2 = Σ (O − E)2 ÷ E
पड़ोसी खानों को तब तक मिलाएँ जब तक हर एक में कम से कम 5 अपेक्षित गेंदें न हों, फिर खाने − 1 स्वातंत्र्य कोटि लें। p-मान वह संभावना है कि बोर्ड निष्पक्ष होने पर इतना बड़ा χ2 आए। उदाहरण: p = 0.5 वाले 4 पंक्तियों के बोर्ड पर 200 गेंदों की अपेक्षा 12.5, 50, 75, 50, 12.5 है। प्रेक्षित 15, 44, 80, 47, 14: χ2 = 0.50 + 0.72 + 0.33 + 0.18 + 0.18 = 1.91, 4 स्वातंत्र्य कोटि पर, p = 0.75, पूरी तरह संयोग के भीतर।
सिम्युलेशन का उपयोग
गाल्टन बोर्ड सिम्युलेटर लगातार गेंदें गिराता है। पट्टियाँ हर खाने का अंश दिखाती हैं, धराशायी रेखा सटीक वितरण और हरा वक्र प्रसामान्य वितरण। चित्र के नीचे प्रतिदर्श माध्य और मानक विचलन अपेक्षित मानों के साथ हैं, और काई-वर्ग परीक्षण। आज़माने लायक:
- समय के साथ चार्ट पर प्रतिदर्श माध्य देखें: पहले वह डोलता है, फिर μ की ओर टिकता है, उसकी त्रुटि σ ÷ √N की तरह घटती है।
- 6 पंक्तियों के साथ p को 0.15 करें: ढेर तिरछा होता है और प्रसामान्य वक्र चूक जाता है। 20 पंक्तियाँ करें और वह फिर घंटी बन जाता है।
- पासों पर जाएँ और n को 1 से 6 तक ले जाएँ: सपाट, त्रिभुज, फिर घंटी।
- चलने दें और p-मान देखें: निष्पक्ष बोर्ड पर वह 0 और 1 के बीच कहीं भी घूमता है और लगभग बीस में एक बार 0.05 से नीचे जाता है।
मॉडल क्या मानकर चलता है
- एक ही p वाले स्वतंत्र उछाल। हर खूँटी एक नया सिक्का उछाल है, पिछले से अप्रभावित। द्विपद प्रक्रिया की परिभाषा यही है।
- हर पंक्ति में ठीक एक उछाल। गेंद हमेशा अगली खूँटी से टकराती है और आधी दूरी बाएँ या दाएँ खिसकती है; वह कभी कोई पंक्ति नहीं छोड़ती और दो बार नहीं उछलती।
- गेंदें एक-दूसरे पर असर नहीं डालतीं। वे एक-दूसरे के आर-पार निकल जाती हैं और कभी अटकती या धकेलती नहीं।
- पासा मोड में निष्पक्ष पासे, हर फलक ठीक 6 में 1।
- एक छद्म-यादृच्छिक संख्या जनक संयोग का काम करता है। यह किसी असली बोर्ड की ज़रूरत से कहीं ज़्यादा एकसमान है।
सीमांत स्थितियाँ
- एक पंक्ति एक ही सिक्का उछाल है: दो खाने, अंश 1 − p और p, और घंटी वक्र का कोई अर्थ नहीं।
- p के 0 या 1 के पास: लगभग हर गेंद किनारे का एक ही रास्ता लेती है; वितरण तिरछा है और n p माध्य वाले प्वासों वितरण के ज़्यादा क़रीब।
- कम गेंदें: कुछ दर्जन से कम पर ढेर ऊबड़-खाबड़ होता है और काई-वर्ग परीक्षण के पास हर खाने में बहुत कम गेंदें होती हैं; वह कम से कम दो खानों में 5 अपेक्षित होने का इंतज़ार करता है।
- एक पासा बिना शिखर का सपाट वितरण देता है, घंटी का उलटा, और यही वह शुरुआती बिंदु है जहाँ से केंद्रीय सीमा प्रमेय काम करता है।
मॉडल कहाँ सही नहीं रहता
- असली गाल्टन बोर्ड आदर्श नहीं होते। गेंद में संवेग होता है: दाएँ जाने के बाद उसके फिर दाएँ जाने की संभावना थोड़ी ज़्यादा होती है, इसलिए उछाल सहसंबद्ध होते हैं और ढेर द्विपद से चौड़ा निकलता है। गेंदें खूँटियाँ छोड़ भी सकती हैं या अटक सकती हैं।
- हर चीज़ योग नहीं है। कई गुणकों के गुणनफल से बनी मात्राएँ, जैसे आय या कणों के आकार, लघुगणकीय-प्रसामान्य होती हैं, लंबी पूँछ के साथ तिरछी; केंद्रीय सीमा प्रमेय उनके लघुगणकों पर लागू होता है।
- भारी पूँछें। अगर अलग-अलग कदमों का प्रसरण सीमित न हो (जैसे कॉशी वितरण), तो उनका योग कभी प्रसामान्य नहीं होता।
- निर्भरता। शेयर भाव, महामारियाँ और ऐसी दूसरी प्रक्रियाएँ जिनमें एक घटना अगली को बदलती है, द्विपद का पालन नहीं करतीं; उन्हें स्वतंत्र सिक्कों की तरह मानने से चरम स्थितियाँ कम आँकी जाती हैं।
- प्रसामान्य वक्र सतत और असीम है, पर खाने 0 से n तक की पूर्ण संख्याएँ हैं; पूँछों में बहुत दूर वह 0 से नीचे या n से ऊपर छोटी पर असंभव संभावनाएँ देता है।
संबंधित टूल
अपने आँकड़ों का माध्य, मानक विचलन और मानक त्रुटि मानक विचलन कैलकुलेटर से निकालें (और मानक विचलन और मानक त्रुटि पढ़ें), असली सिक्के सिक्का उछालें से और पासे पासा फेंकें से उछालें; पासे की प्रायिकता: हर फेंक के आसार संभावनाएँ हाथ से निकालती है।