फ़ूरिए श्रेणी समझें: हार्मोनिक, वर्ग और आरी तरंगें, गिब्स परिघटना और अधिचक्र

विचार

कोई भी सिग्नल जो आवर्तकाल T के साथ दोहराता है, साइन और कोसाइन तरंगों के योग के रूप में लिखा जा सकता है जिनकी आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति f = 1 ÷ T के पूर्ण गुणज हैं:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), जहाँ ω = 2πf

पद हार्मोनिक हैं: n = 1 मूल स्वर है, n = 2 दोगुनी आवृत्ति पर दूसरा हार्मोनिक, और इसी तरह आगे। गुणांक निकालने के लिए सिग्नल को हर साइन या कोसाइन से गुणा करके एक आवर्तकाल पर औसत लेते हैं: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt। जोसेफ़ फ़ूरिए ने 1807 में ऊष्मा प्रवाह का समीकरण हल करने के लिए यह विचार दिया; आज यह ऑडियो और इमेज संपीड़न, रेडियो, स्पेक्ट्रोस्कोपी और कंपन करने वाली हर चीज़ के विश्लेषण की नींव है।

तीन मानक तरंगें

उन तरंगों के लिए जो −1 और +1 के बीच झूलती हैं और विषम हैं (सिर्फ़ साइन चाहिए):

वर्ग तरंग: विषम n के लिए b_n = 4 ÷ (nπ), सम n के लिए शून्य। आयाम 1.273, 0.424, 0.255, 0.182, …
आरी तरंग: हर n के लिए b_n = −2 ÷ (nπ) (ऊपर चढ़ती ढलान)। सभी हार्मोनिक, 1 ÷ n की तरह घटते हुए।
त्रिभुज तरंग: विषम n के लिए b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²)। 1 ÷ n² की तरह घटती, बहुत तेज़ी से।

इनके पीछे का नियम: छलाँग वाले सिग्नल के गुणांक 1 ÷ n की तरह घटते हैं; जो सतत हो पर जिसमें कोने हों, 1 ÷ n² की तरह; और चिकने हों तो और तेज़ी से। चिकने सिग्नलों को कम पद चाहिए; नुकीलों को बहुत।

एक हल किया उदाहरण

वर्ग तरंग के बीच के बिंदु ωt = π ÷ 2 पर, जहाँ तरंग +1 है, पहले तीन अशून्य पद जोड़ें:

sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1।
1.273 × 1 + 0.424 × (−1) + 0.255 × 1 = 1.104।

पाँच पद 1.273 − 0.424 + 0.255 − 0.182 + 0.141 = 1.063 देते हैं; आंशिक योग 1 के आसपास डोलते हैं और धीरे-धीरे पास आते हैं, जैसा 1 ÷ n वाले गुणांक बताते हैं।

गिब्स परिघटना

छलाँग के पास आंशिक योग आगे निकल जाते हैं, और पद जोड़ने पर यह ओवरशूट घटता नहीं। यह हर तरफ़ छलाँग के लगभग 8.95% की ओर जाता है: −1 से +1 तक छलाँग लगाने वाली वर्ग तरंग (छलाँग 2) कितने भी हार्मोनिक लें, लगभग 1.18 तक पहुँचती है। लहर संकरी होकर छलाँग की ओर सिमटती जाती है, इसलिए एक आवर्तकाल पर औसत त्रुटि तो शून्य की ओर जाती है, पर अधिकतम त्रुटि नहीं। व्यवहार में यह मायने रखता है: ऊँची आवृत्तियाँ काटने से (लो-पास फ़िल्टर, या JPEG संपीड़न) तीखे किनारों के पास रिंगिंग आती है।

शक्ति: पार्सेवल प्रमेय

एक आवर्तकाल पर f² का औसत हार्मोनिकों की शक्तियों के योग के बराबर है: औसत(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (सिर्फ़ साइन वाली श्रेणी के लिए)। वर्ग तरंग के लिए औसत(f²) = 1, और अकेला मूल स्वर उसका (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81% रखता है; पहले पाँच विषम हार्मोनिक 96%। इसीलिए वर्ग तरंग अपने मूल स्वर की पिच पर एक चमकीले, भिनभिनाते रंग के साथ सुनाई देती है: ऊपरी हार्मोनिक बचे हुए कुछ प्रतिशत ढोते हैं।

अधिचक्र और असतत फ़ूरिए रूपांतरण

हर पद c e^inωt एक बिंदु है जो त्रिज्या |c| के वृत्त पर प्रति आवर्तकाल n चक्कर लगाता है। पदों को सिरे से सिरा जोड़ने पर वृत्तों की एक शृंखला बनती है, हर एक अपनी रफ़्तार से घूमता: अधिचक्र, वही युक्ति जो टॉलेमी ने ग्रहों के लिए इस्तेमाल की थी। समतल में किसी बंद रूपरेखा के लिए उसके बिंदुओं को सम्मिश्र संख्याओं z = x + iy के रूप में लिखें, उनमें से M बराबर दूरी पर लें, और असतत फ़ूरिए रूपांतरण निकालें:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

हर c_k एक वृत्त है; सभी M वृत्तों के साथ शृंखला रूपरेखा को ठीक-ठीक दोबारा बनाती है, और सिर्फ़ कुछ सबसे बड़े वृत्तों के साथ उसका चिकना रूप बनाती है। कोने और बारीक विवरण छोटे, तेज़ वृत्तों में रहते हैं।

सिम्युलेशन का उपयोग

फ़ूरिए श्रेणी सिम्युलेटर में एक तरंग और पदों की संख्या चुनें। वृत्तों की शृंखला घूमती है, पेन की ऊँचाई आंशिक योग है, और वक्र हरे रंग की सटीक तरंग के ऊपर दाईं ओर खिसकता है; चार्ट स्पेक्ट्रम है। ये आज़माएँ:

वर्ग तरंग, 1 पद फिर 2, 5, 20 और 100: छलाँग पर ओवरशूट लगभग 9% पर रहता है जबकि लहर संकरी होती जाती है।
3 पदों के साथ त्रिभुज: पहले से बहुत पास, क्योंकि उसके गुणांक 1 ÷ n² की तरह घटते हैं।
आवाज़ पर टिक करें और वर्ग तरंग में पद जोड़ें: पिच वही रहती है जबकि स्वर बाँसुरी जैसी शुद्ध साइन से बदलकर नकियाती भिनभिनाहट बन जाता है।
अपनी आकृति बनाएँ, फिर पदों की संख्या घटाकर 3 या 4 करें: चित्र पिघलकर दीर्घवृत्त जैसे लूप में बदल जाता है।

मॉडल क्या मानकर चलता है

आदर्श, पूरी तरह आवर्ती तरंगें, आयाम 1 की, सटीक गुणांकों के साथ; इन तरंगों के लिए कुछ भी मापा या सैंपल नहीं किया जाता।
तीनों तरंगों के लिए सिर्फ़ साइन वाली श्रेणी, जिन्हें विषम फलन चुना गया है; खिसकाई गई तरंग को कोसाइन भी चाहिए।
आकृतियों को रूपांतरण से पहले रूपरेखा पर बराबर दूरी के 256 बिंदुओं में दोबारा सैंपल किया जाता है, और आख़िरी बिंदु को पहले से जोड़कर बंद किया जाता है।
आवाज़ उन्हीं गुणांकों से ब्राउज़र की Web Audio आवर्ती तरंग के ज़रिए बनती है, जो तीव्रता को सामान्य कर देती है; यह आपकी चुनी पिच पर बजती है, और लगभग 20 kHz से ऊपर के हार्मोनिक सुनाई नहीं देते।

सीमांत स्थितियाँ

एक पद: हर तरंग b₁ आयाम की शुद्ध साइन बन जाती है; वर्ग तरंग का 4 ÷ π = 1.27 है, जो तरंग से भी ऊँचा है।
ठीक छलाँग पर वर्ग तरंग का हर आंशिक योग ठीक 0 होता है, दोनों तरफ़ का औसत।
ख़ुद को काटने वाला या बीच में टूटा चित्र भी एक बंद लूप माना जाता है; रूपांतरण बिंदुओं से बने किसी भी रास्ते को फ़िट करता है।
आवाज़ में बहुत ऊँचे हार्मोनिक: 880 Hz पर 100वाँ हार्मोनिक 88 kHz होगा, सुनने और ऑडियो हार्डवेयर की क्षमता से बहुत ऊपर; ब्राउज़र उन्हें हटा देता है।

यह कहाँ सही नहीं रहता

न दोहराने वाले सिग्नलों की कोई फ़ूरिए श्रेणी नहीं होती; उन्हें फ़ूरिए रूपांतरण चाहिए, यानी आवृत्तियों का सतत फैलाव। छोटी आवाज़ों का स्पेक्ट्रम फैला होता है, इसीलिए क्लिक की कोई पिच नहीं होती।
सैंपल किया डेटा। सीमित दर पर मापा गया असली सिग्नल उस दर के आधे से ऊपर की आवृत्तियाँ नहीं दिखा सकता (नाइक्विस्ट सीमा); ऊँची आवृत्तियाँ नकली निचली आवृत्तियों के रूप में लौट आती हैं (एलियासिंग)।
असली वाद्य आदर्श तरंगें नहीं हैं: उनके हार्मोनिक ठीक पूर्ण गुणज नहीं होते (पियानो के तार कड़े होते हैं), स्वर के दौरान बदलते हैं, और शुरुआती आघात में बहुत-सा चरित्र होता है, जैसा वाद्य ट्यूनर असली स्वर पढ़ते समय दिखाता है।
विचित्र फलन। कुछ सतत फलन हैं जिनकी फ़ूरिए श्रेणी कुछ बिंदुओं पर अपसारी होती है; खींची या रिकॉर्ड की गई किसी भी चीज़ के लिए व्यवहार में इससे कभी फ़र्क नहीं पड़ता।

फ़ूरिए श्रेणी समझें: साइन तरंगों से तरंगें बनाना