Las series de Fourier explicadas: construir ondas con senos

La idea

Cualquier señal que se repite con periodo T puede escribirse como suma de ondas seno y coseno cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia básica f = 1 ÷ T:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), con ω = 2πf

Los términos son los armónicos: n = 1 es la fundamental, n = 2 el segundo armónico, al doble de frecuencia, y así sucesivamente. Los coeficientes se hallan multiplicando la señal por cada seno o coseno y promediando sobre un periodo: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier introdujo la idea en 1807 para resolver la ecuación del calor; hoy está detrás de la compresión de audio e imagen, la radio, la espectroscopia y el análisis de todo lo que vibra.

Tres ondas estándar

Para ondas que oscilan entre −1 y +1 y son impares (solo hacen falta senos):

• Onda cuadrada: b_n = 4 ÷ (nπ) para n impar, cero para n par. Amplitudes 1,273, 0,424, 0,255, 0,182, …
• Diente de sierra: b_n = −2 ÷ (nπ) para todo n (rampa ascendente). Todos los armónicos, cayendo como 1 ÷ n.
• Triangular: b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) para n impar. Cayendo como 1 ÷ n², mucho más deprisa.

La regla detrás de esto: una señal con saltos tiene coeficientes que caen como 1 ÷ n; una continua pero con esquinas, como 1 ÷ n²; si es más suave aún, más rápido. Las señales suaves necesitan pocos términos; las abruptas, muchos.

Un ejemplo resuelto

Suma los tres primeros términos no nulos de la onda cuadrada en su punto medio, ωt = π ÷ 2, donde la onda vale +1:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Cinco términos dan 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063; las sumas parciales oscilan alrededor de 1 y se acercan despacio, como predicen los coeficientes en 1 ÷ n.

El fenómeno de Gibbs

Cerca de un salto las sumas parciales se pasan, y la sobreoscilación no disminuye al añadir términos. Tiende a cerca del 8,95 % del salto a cada lado: una onda cuadrada que salta de −1 a +1 (un salto de 2) llega a unos 1,18 por muchos armónicos que se usen. La ondulación se estrecha y se aprieta contra el salto, así que el error promediado en un periodo sí tiende a cero, pero el error máximo no. Esto importa en la práctica: cortar las altas frecuencias (un filtro paso bajo o la compresión JPEG) produce ondulaciones junto a los bordes nítidos.

Potencia: el teorema de Parseval

La media de f² en un periodo es igual a la suma de las potencias de los armónicos: media(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (para una serie solo de senos). Para la onda cuadrada, media(f²) = 1, y la fundamental sola tiene (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81 % de ella; los cinco primeros armónicos impares, el 96 %. Por eso una onda cuadrada suena a su tono fundamental con un color brillante y áspero: los armónicos altos llevan el pequeño porcentaje que queda.

Epiciclos y transformada discreta de Fourier

Cada término c e^inωt es un punto que recorre un círculo de radio |c| dando n vueltas por periodo. Sumar los términos uno tras otro es una cadena de círculos, cada uno girando a su propia velocidad: epiciclos, el mismo recurso que usó Ptolomeo para los planetas. Para un contorno cerrado en el plano, escribe sus puntos como números complejos z = x + iy, toma M de ellos equiespaciados y calcula la transformada discreta de Fourier:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Cada c_k es un círculo; con los M la cadena vuelve a trazar el contorno exactamente, y con solo los más grandes dibuja una versión suavizada. Las esquinas y los detalles finos viven en los círculos pequeños y rápidos.

Cómo usar la simulación

En el Simulador de series de Fourier, elige una onda y el número de términos. La cadena de círculos gira, la altura del lápiz es la suma parcial y la curva se desplaza a la derecha sobre la onda exacta en verde; el gráfico es el espectro. Cosas que probar:

• Onda cuadrada con 1 término, luego 2, 5, 20 y 100: la sobreoscilación en el salto se queda cerca del 9 % mientras la ondulación se estrecha.
• Triangular con 3 términos: ya está muy cerca, porque sus coeficientes caen como 1 ÷ n².
• Marca el sonido y añade términos a la onda cuadrada: el tono no cambia mientras el timbre pasa de un seno puro, como de flauta, a un zumbido de lengüeta.
• Dibuja tu propia forma y baja el número de términos a 3 o 4: el dibujo se derrite en un lazo parecido a una elipse.

Qué supone el modelo

• Ondas ideales, perfectamente periódicas, de amplitud 1 y con coeficientes exactos; para las ondas no se mide ni se muestrea nada.
• Series solo de senos para las tres ondas, elegidas como funciones impares; una onda desplazada necesitaría también cosenos.
• Formas remuestreadas a 256 puntos equiespaciados a lo largo del contorno antes de la transformada, cerradas uniendo el último punto con el primero.
• Sonido con los mismos coeficientes mediante la onda periódica de Web Audio del navegador, que normaliza el volumen; se reproduce al tono que elijas, y los armónicos por encima de unos 20 kHz no se oyen.

Casos límite

• Un término: cualquier onda se convierte en un seno puro de amplitud b₁; el de la onda cuadrada es 4 ÷ π = 1,27, más alto que la propia onda.
• Justo en el salto toda suma parcial de la onda cuadrada vale exactamente 0, la media de los dos lados.
• Un dibujo que se cruza o tiene un hueco se trata igualmente como un único lazo cerrado; la transformada se ajusta al camino que formen los puntos.
• Armónicos muy altos en el sonido: a 880 Hz el armónico 100 estaría en 88 kHz, muy por encima del oído y de lo que puede reproducir el hardware de audio; el navegador los descarta.

Dónde deja de valer

• Las señales que no se repiten no tienen serie de Fourier; necesitan la transformada de Fourier, un reparto continuo de frecuencias. Los sonidos cortos tienen espectros extendidos, por eso un chasquido no tiene tono.
• Datos muestreados. Una señal medida a un ritmo finito no puede representar frecuencias por encima de la mitad de ese ritmo (el límite de Nyquist); las más altas se pliegan como frecuencias falsas más bajas (aliasing).
• Los instrumentos reales no son ondas ideales: sus armónicos no son exactamente múltiplos enteros (las cuerdas del piano son rígidas), cambian a lo largo de una nota y el ataque aporta buena parte del carácter, como muestra el Afinador de instrumentos al leer una nota real.
• Funciones patológicas. Hay funciones continuas cuyas series de Fourier divergen en algunos puntos; para cualquier cosa dibujada o grabada, eso no importa nunca en la práctica.

Herramientas relacionadas

El Simulador de ondas estacionarias muestra los armónicos que puede tener una cuerda o un tubo, y el Generador de tonos reproduce ondas seno, cuadrada, en diente de sierra y triangular a cualquier frecuencia para compararlas de oído.