Séries de Fourier explicadas: construindo ondas com senoides

A ideia

Qualquer sinal que se repete com período T pode ser escrito como soma de ondas seno e cosseno cujas frequências são múltiplos inteiros da frequência básica f = 1 ÷ T:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), com ω = 2πf

Os termos são os harmônicos: n = 1 é a fundamental, n = 2 o segundo harmônico, com o dobro da frequência, e assim por diante. Os coeficientes são obtidos multiplicando o sinal por cada seno ou cosseno e tirando a média num período: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier introduziu a ideia em 1807 para resolver a equação do calor; hoje ela está por trás da compressão de áudio e imagem, do rádio, da espectroscopia e da análise de tudo o que vibra.

Três ondas padrão

Para ondas que oscilam entre −1 e +1 e são ímpares (só precisam de senos):

• Onda quadrada: b_n = 4 ÷ (nπ) para n ímpar, zero para n par. Amplitudes 1,273, 0,424, 0,255, 0,182, …
• Dente de serra: b_n = −2 ÷ (nπ) para todo n (rampa subindo). Todos os harmônicos, caindo como 1 ÷ n.
• Triangular: b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) para n ímpar. Caindo como 1 ÷ n², bem mais rápido.

A regra por trás disso: um sinal com saltos tem coeficientes que caem como 1 ÷ n; um contínuo mas com cantos, como 1 ÷ n²; mais suave ainda, mais rápido. Sinais suaves precisam de poucos termos; abruptos, de muitos.

Um exemplo resolvido

Some os três primeiros termos não nulos da onda quadrada no ponto médio, ωt = π ÷ 2, onde a onda vale +1:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Cinco termos dão 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063; as somas parciais oscilam em torno de 1 e se aproximam devagar, como preveem os coeficientes em 1 ÷ n.

O fenômeno de Gibbs

Perto de um salto as somas parciais passam do ponto, e o sobressinal não diminui com mais termos. Ele tende a cerca de 8,95 % do salto de cada lado: uma onda quadrada que salta de −1 para +1 (um salto de 2) chega a cerca de 1,18, não importa quantos harmônicos sejam usados. A ondulação fica mais estreita e se espreme contra o salto, então o erro médio num período vai a zero, mas o erro máximo não. Isso importa na prática: cortar as altas frequências (um filtro passa-baixa, ou a compressão JPEG) cria ondulações junto a bordas nítidas.

Potência: o teorema de Parseval

A média de f² num período é igual à soma das potências dos harmônicos: média(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (para uma série só de senos). Para a onda quadrada, média(f²) = 1, e a fundamental sozinha tem (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81 % disso; os cinco primeiros harmônicos ímpares, 96 %. Por isso uma onda quadrada soa no seu tom fundamental com uma cor brilhante e áspera: os harmônicos altos carregam os poucos por cento restantes.

Epiciclos e a transformada discreta de Fourier

Cada termo c e^inωt é um ponto que dá voltas num círculo de raio |c|, n voltas por período. Somar os termos um após o outro é uma cadeia de círculos, cada um girando na própria velocidade: epiciclos, o mesmo recurso que Ptolomeu usou para os planetas. Para um contorno fechado no plano, escreva seus pontos como números complexos z = x + iy, tome M deles igualmente espaçados e calcule a transformada discreta de Fourier:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Cada c_k é um círculo; com todos os M a cadeia retraça o contorno exatamente, e só com os maiores desenha uma versão suavizada. Cantos e detalhes finos ficam nos círculos pequenos e rápidos.

Como usar a simulação

No Simulador de séries de Fourier, escolha uma onda e o número de termos. A cadeia de círculos gira, a altura da caneta é a soma parcial e a curva corre para a direita sobre a onda exata em verde; o gráfico é o espectro. O que testar:

• Onda quadrada com 1 termo, depois 2, 5, 20 e 100: o sobressinal no salto fica perto de 9 % enquanto a ondulação estreita.
• Triangular com 3 termos: já fica bem perto, porque seus coeficientes caem como 1 ÷ n².
• Marque o som e acrescente termos à onda quadrada: a altura não muda, enquanto o timbre passa de uma senoide pura, como de flauta, a um zumbido de palheta.
• Desenhe sua própria forma e baixe o número de termos para 3 ou 4: o desenho derrete num laço parecido com uma elipse.

O que o modelo supõe

• Ondas ideais, perfeitamente periódicas, de amplitude 1 e com coeficientes exatos; para as ondas nada é medido nem amostrado.
• Séries só de senos para as três ondas, escolhidas como funções ímpares; uma onda deslocada precisaria também de cossenos.
• Formas reamostradas em 256 pontos igualmente espaçados ao longo do contorno antes da transformada, fechadas ligando o último ponto ao primeiro.
• Som com os mesmos coeficientes pela onda periódica do Web Audio do navegador, que normaliza o volume; tocado na altura escolhida, com harmônicos acima de cerca de 20 kHz inaudíveis.

Casos-limite

• Um termo: toda onda vira uma senoide pura de amplitude b₁; a da onda quadrada é 4 ÷ π = 1,27, mais alta que a própria onda.
• Exatamente no salto toda soma parcial da onda quadrada vale exatamente 0, a média dos dois lados.
• Um desenho que se cruza ou tem uma falha é tratado mesmo assim como um único laço fechado; a transformada se ajusta a qualquer caminho que os pontos formem.
• Harmônicos muito altos no som: a 880 Hz o 100º harmônico estaria em 88 kHz, muito acima da audição e do que o hardware de áudio consegue tocar; o navegador os descarta.

Onde deixa de valer

• Sinais que não se repetem não têm série de Fourier; precisam da transformada de Fourier, um espalhamento contínuo de frequências. Sons curtos têm espectros espalhados, e é por isso que um estalo não tem altura.
• Dados amostrados. Um sinal medido a uma taxa finita não consegue representar frequências acima da metade dessa taxa (o limite de Nyquist); as mais altas se dobram como falsas frequências mais baixas (aliasing).
• Instrumentos reais não são ondas ideais: seus harmônicos não são exatamente múltiplos inteiros (cordas de piano são rígidas), mudam ao longo de uma nota e o ataque carrega boa parte do caráter, como mostra o Afinador de instrumentos ao ler uma nota real.
• Funções patológicas. Existem funções contínuas cujas séries de Fourier divergem em alguns pontos; para qualquer coisa desenhada ou gravada, isso nunca importa na prática.

Ferramentas relacionadas

O Simulador de ondas estacionárias mostra os harmônicos que uma corda ou um tubo pode ter, e o Gerador de tons toca ondas seno, quadrada, dente de serra e triangular em qualquer frequência para comparar de ouvido.