La loi binomiale, la courbe en cloche et la planche de Galton

La planche

Une planche de Galton est une planche de clous en rangées décalées au-dessus d'une rangée de cases. Une bille lâchée en haut heurte un clou à chaque rangée, part à gauche ou à droite, et tombe dans la case qui correspond au nombre de fois où elle est allée à droite. Francis Galton en construisit une dans les années 1870 pour montrer comment l'ordre naît du hasard : le chemin de chaque bille est imprévisible, mais des milliers de billes forment toujours le même tas en forme de cloche.

La formule binomiale

Avec n rangées et une probabilité p d'aller à droite à chaque clou, la probabilité de tomber dans la case k (k fois à droite sur n) est

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) compte les chemins qui aboutissent à la case k, et p^k(1 − p)^{n − k} est la probabilité de chacun.

Exemple : 12 rangées, p = 0,5. La case du milieu, k = 6, a C(12, 6) = 924 chemins, chacun de probabilité 0,5¹² = 1 ÷ 4 096, donc P(6) = 924 ÷ 4 096 = 22,6 %. Une case du bord a un seul chemin : 1 ÷ 4 096 = 0,024 %. Sur 1 000 billes, attendez-vous à environ 226 au milieu et à aucune, ou peut-être une, à chaque bord.

Moyenne et écart-type

μ = n p et σ = √(n p (1 − p))

Pour 12 rangées avec p = 0,5, μ = 6 et σ = √3 = 1,73. Pour une loi normale, 68 % des valeurs tombent à moins d'un σ de la moyenne et 95 % à moins de deux ; sur cette planche, les cases 5 à 7 reçoivent 61 % des billes, car les cases sont des nombres entiers et un σ n'atteint pas tout à fait les cases 4 et 8. σ ne croît que comme √n : une planche à quatre fois plus de rangées a un tas deux fois plus large, mais deux fois plus étroit par rapport à la largeur de la planche.

L'approximation normale

Pour n grand, la loi binomiale est proche de la loi normale de même moyenne et de même écart-type, f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π)). Une règle courante veut qu'elle convienne quand n p et n (1 − p) valent tous deux au moins 5 (certains manuels disent 10). Avec p = 0,1 et 12 rangées, n p = 1,2 : le tas se presse contre le bord gauche et devient dissymétrique (asymétrie (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), et la cloche symétrique colle mal.

Le théorème central limite

Chaque rebond ajoute un petit pas aléatoire, et la case en est la somme. Le théorème central limite dit que la somme de nombreuses quantités aléatoires indépendantes tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de chacune, pourvu qu'elle ait une dispersion finie. Les dés le montrent bien. Un dé est plat : chaque face 1 sur 6. Deux dés forment un triangle culminant à 7. La somme de n dés a pour moyenne 3,5 n et pour variance 35 n ÷ 12, et dès cinq ou six dés on la distingue à peine d'une cloche. C'est pourquoi les tailles, les erreurs de mesure et les notes d'examen, chacune somme de nombreuses petites influences, ont si souvent l'air normales.

Tester un tas : le khi-deux

Un tas est-il compatible avec la binomiale, ou la planche est-elle biaisée ? Comparez les effectifs observés O aux effectifs attendus E = N × P(k) avec

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

Regroupez les cases voisines jusqu'à ce que chacune attende au moins 5 billes, puis utilisez cases − 1 degrés de liberté. La valeur p est la probabilité d'un χ² aussi grand si la planche est équitable. Exemple : 200 billes sur une planche de 4 rangées avec p = 0,5 attendent 12,5, 50, 75, 50, 12,5. On observe 15, 44, 80, 47, 14 : χ² = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 avec 4 degrés de liberté, p = 0,75, tout à fait compatible avec le hasard.

Utiliser la simulation

Le Simulateur de planche de Galton lâche des billes en continu. Les barres montrent la part dans chaque case, la ligne pointillée la loi exacte et la courbe verte la loi normale. Sous l'image figurent la moyenne et l'écart-type de l'échantillon à côté des valeurs attendues, ainsi que le test du khi-deux. À essayer :

• Suivez la moyenne de l'échantillon sur le graphique au fil du temps : elle oscille d'abord, puis se stabilise vers μ, avec une erreur qui décroît comme σ ÷ √N.
• Réglez p à 0,15 avec 6 rangées : le tas est dissymétrique et la courbe normale le rate. Passez à 20 rangées et il redevient une cloche.
• Passez aux dés et faites varier n de 1 à 6 : plat, triangle, puis cloche.
• Laissez tourner et surveillez la valeur p : pour une planche équitable, elle erre entre 0 et 1 et passe sous 0,05 environ une fois sur vingt.

Ce que le modèle suppose

• Des rebonds indépendants de même p. Chaque clou est un nouveau pile ou face, sans influence du précédent. C'est la définition d'un processus binomial.
• Exactement un rebond par rangée. La bille heurte toujours le clou suivant et se décale d'un demi-espacement à gauche ou à droite ; elle ne saute jamais une rangée ni ne rebondit deux fois.
• Les billes n'interagissent pas. Elles se traversent et ne se coincent ni ne se bousculent jamais.
• Des dés équitables, chaque face exactement 1 sur 6, en mode dés.
• Un générateur de nombres pseudo-aléatoires tient lieu de hasard. Il est bien plus uniforme que ce dont une vraie planche aurait besoin.

Cas limites

• Une seule rangée est un seul pile ou face : deux cases, de parts 1 − p et p, et la courbe en cloche n'a pas de sens.
• p proche de 0 ou de 1 : presque toutes les billes suivent le même chemin du bord ; la loi est dissymétrique et ressemble davantage à une loi de Poisson de moyenne n p.
• Peu de billes : en dessous de quelques dizaines, le tas est irrégulier et le test du khi-deux a trop peu de billes par case ; il attend au moins deux cases à 5 attendues.
• Un seul dé donne une distribution plate sans pic, le contraire d'une cloche, qui est justement le point de départ du théorème central limite.

Où le modèle cesse d'être juste

• Les vraies planches de Galton ne sont pas idéales. Une bille a de l'élan : après être allée à droite, elle a un peu plus de chances d'y retourner, si bien que les rebonds sont corrélés et que le tas sort plus large que la binomiale. Les billes peuvent aussi sauter des clous ou se coincer.
• Tout n'est pas une somme. Les grandeurs issues du produit de nombreux facteurs, comme les revenus ou les tailles de particules, sont log-normales, dissymétriques avec une longue queue ; le théorème central limite s'applique à leurs logarithmes.
• Les queues lourdes. Si les pas individuels n'ont pas de variance finie (une loi de Cauchy, par exemple), leur somme ne devient jamais normale.
• La dépendance. Les mouvements de la Bourse, les épidémies et les autres processus où un événement modifie le suivant ne suivent pas la binomiale ; les traiter comme des pièces indépendantes sous-estime les extrêmes.
• La courbe normale est continue et non bornée, alors que les cases sont des entiers de 0 à n ; loin dans les queues, elle donne des probabilités petites mais impossibles en dessous de 0 ou au-dessus de n.

Outils associés

Calculez la moyenne, l'écart-type et l'erreur type de vos propres données avec le Calcul d'écart type (et Écart type et erreur type), lancez de vraies pièces avec Pile ou face et des dés avec le Lancer de dés ; Probabilités aux dés : les chances de chaque lancer calcule les chances à la main.