フーリエ級数シミュレーター
このシミュレーションの式
| n | 高調波の番号 | 円 n は最初の円の n 倍の速さで回る。ここでの波は正弦だけで表せる | |
|---|---|---|---|
| b_n | 高調波 n の振幅 | 円 n の半径 | |
| N | 項の数 | 加える円の数。ペンの高さが部分和 |
現在の値を入れると：
| 減衰 | 項が小さくなる速さ | 跳びのある波では 1 ÷ n、角しかない三角波では 1 ÷ n²。なめらかな形ほど少ない項ですむ |
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現在の値を入れると：
| ギブズ | 跳びの近くのオーバーシュート | 項をいくつ加えても跳びの約 9%。波打ちは細くなるが低くはならない |
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現在の値を入れると：
| パーセバル | 最初の N 項の電力の全体に対する割合 | 円が波をどれだけとらえたか |
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現在の値を入れると：
| c_k | 形の周転円 1 つ | 輪郭上の M 点 z_j = x + iy の離散フーリエ変換。大きい円から順に使う |
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現在の値を入れると：
フーリエ級数シミュレーターの使い方
- 矩形波、のこぎり波、三角波のどれかを選びます。各円は最初の円の整数倍の速さで回り、その半径がその高調波の振幅です。鎖の先のペンが和を描き、その曲線は緑の厳密な波の上を右へ流れていきます。
- スライダーで項を増やすと、波がしだいに鋭くなります。跳びのすぐ横では、項をいくつ足しても和が約 9% 行き過ぎます。これがギブズ現象です。誤差ととらえた電力の割合は画像の下に、高調波のスペクトルはグラフに表示されます。「波を音として鳴らす」にチェックすると、高調波が加わるにつれて柔らかな正弦波がジージーいう矩形波に変わっていくのが聞こえます。
- ハートや星に切り替えるか、「自分の絵」を選んで画像の上に閉じた形をドラッグで描くと、周転円がその離散フーリエ変換から、大きい円の順に形をなぞります。円が少ないと大まかな塊になり、増やすと角が出てきます。定常波シミュレーター では弦の高調波を見られます。
よくある質問
フーリエ級数とは何ですか?
繰り返す信号を、繰り返しの周波数の整数倍の周波数をもつ正弦波と余弦波の和として書く方法です。ジョゼフ・フーリエが 1807 年に熱の伝わり方の方程式を解くために導入しました。音声圧縮、JPEG のような画像形式、無線、振動するものすべての解析の土台になっています。
矩形波に奇数次の高調波しか要らないのはなぜですか?
矩形波には半波対称性があり、後半は前半を上下反転したものです。偶数次の高調波はこの対称性を崩してしまうので、係数は 0 になります。奇数次の高調波の振幅は 4 ÷ (nπ) で、1 次の 3 分の 1、5 分の 1、7 分の 1 と、急な跳びのせいでゆっくりとしか小さくなりません。
ギブズ現象とは何ですか?
跳びの近くで、フーリエ級数の部分和が跳びの約 9% だけ行き過ぎる現象です。項を増やすと波打ちは細くなりますが、低くはなりません。波打ちが周期のうち占める部分はどんどん小さくなるので、和は平均としては波に近づきますが、跳びにぴったり合うことはありません。
円で絵が描けるのはなぜですか?
輪郭の各点を複素数 x + iy で表し、離散フーリエ変換をします。各係数は半径が一定で、それぞれの整数の速さで回る円で、向きは右回りも左回りもあります。これらをつなげると、すべて使えば輪郭を正確に、大きい数個だけならおおよそなぞります。
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