완충 용액의 원리: 헨더슨-하셀바흐 식, 완충 용량, 완충 용액 고르기

완충 용액이란

완충 용액은 약산 HA와 그 짝염기 A⁻를 함께 담은 용액입니다. 아세트산과 아세트산 나트륨, 인산 이수소 이온과 인산 수소 이온이 그 예입니다. 강산을 넣으면 염기가 양성자를 받고(A⁻ + H⁺ → HA), 강염기를 넣으면 산이 양성자를 내놓습니다(HA + OH⁻ → A⁻ + H₂O). 어느 쪽이든 넣은 산이나 염기는 자유 H⁺의 큰 변화 대신 A⁻와 HA 비율의 작은 변화로 바뀌므로 pH는 거의 움직이지 않습니다. 혈액은 주로 탄산수소염 완충 작용으로 pH 7.4를 유지하고, 생화학 실험은 거의 모두 완충 용액 안에서 이루어집니다.

헨더슨-하셀바흐 식

pH = pKa + log₁₀([A⁻] ÷ [HA])

pKa = −log₁₀ Ka는 산이 절반 해리되는 pH입니다.
산과 염기가 같은 양이면 pH = pKa. 염기가 10배 많으면 pKa + 1, 산이 10배 많으면 pKa − 1입니다.
식에는 비율만 나오므로 완충 용액을 묽혀도 pH는 거의 변하지 않습니다. 다만 완충 능력은 약해집니다.

계산 예

아세트산 완충 용액 100 mL에 아세트산 5 mmol과 아세트산 나트륨 5 mmol이 들어 있습니다(총 100 mM, pKa 4.76). 따라서 pH = 4.76입니다. 여기에 1 M HCl 2 mL, 즉 H⁺ 2 mmol을 넣습니다:

H⁺가 아세트산 이온 2 mmol을 아세트산으로 바꿉니다. 아세트산 이온은 5 − 2 = 3 mmol, 아세트산은 5 + 2 = 7 mmol이 됩니다.
pH = 4.76 + log₁₀(3 ÷ 7) = 4.76 − 0.37 = 4.39.

같은 2 mmol을 순수한 물 100 mL에 넣으면 102 mL에 2 mmol이 되어 [H⁺] = 0.0196 M, pH = 1.71입니다. 완충 용액의 0.37에 비해 5 이상 떨어집니다.

완충 용량

완충 용량 β는 pH를 1만큼 바꾸는 데 필요한 강산 또는 강염기의 양(리터당 몰수)입니다:

β = 2.303 (Kw ÷ [H⁺] + [H⁺] + C_T Ka [H⁺] ÷ (Ka + [H⁺])²)

마지막 항은 완충 용액 자체에서 오는 것으로, pH = pKa에서 최대인 2.303 × C_T ÷ 4 = 0.576 C_T가 됩니다. 그래서 완충 용액은 pKa에서 가장 잘 작동하고, 그 앞뒤 1 정도까지는 그런대로 작동하며, 그 능력은 총농도 C_T에 비례합니다. 100 mM은 10 mM보다 10배 강하게 버팁니다. 한쪽 형태를 다 써 버리면 완충 용액은 더 내줄 것이 없고, pH는 물에서처럼 크게 움직입니다.

완충 용액 고르기

아세트산, pKa 4.76: pH 3.8~5.8.
탄산수소염, pKa 6.35(CO₂ + H₂O ⇌ H⁺ + HCO₃⁻ 기준): 혈액과 세포 배양액. 녹아 있는 CO₂를 공기와 평형으로 유지합니다.
인산, pKa 7.20(두 번째 해리): pH 6.2~8.2. 인산 완충 식염수(PBS).
트리스, 25 °C에서 pKa 8.07: 분자생물학에서 pH 7~9. pKa가 1 °C당 약 0.03 내려가므로, 실온에서 만든 트리스 완충 용액은 저온실에서 약 0.6만큼 더 염기성이 됩니다.
암모늄/암모니아, pKa 9.25: pH 8.3~10.3.

pKa가 원하는 pH에서 1 이내인 것을 고르고, 실험에서 생길 산이나 염기를 감당할 만큼 완충 용량이 나오는 농도로 정하며, 실험을 방해하지 않는 것을 씁니다(인산은 칼슘을 침전시키고, 트리스는 알데하이드와 반응합니다).

시뮬레이션 사용법

완충 용액 시뮬레이터는 완충 용액과 같은 부피의 물을 나란히 놓습니다. 버튼을 누를 때마다 두 쪽에 같은 양의 1 M HCl 또는 NaOH가 들어갑니다. 액체는 만능 지시약 같은 색을 띠고, 완충 용액의 분자는 파란색(산 형태)에서 노란색(염기 형태)으로 바뀌며, 빨간색이나 보라색 점이 자유 H₃O⁺나 OH⁻를 0.1 mM당 하나씩 보여 줍니다. 이렇게 해 보세요:

산을 1 mL씩 넣으면서 물의 pH는 곤두박질치는데 완충 용액의 pH는 천천히만 움직이는 것을 확인합니다. 계속 넣으면 완충 용액의 염기 형태가 바닥나고 그 pH도 떨어집니다.
농도를 10 mM로 낮추면 완충 용액은 10분의 1의 산으로 무너집니다.
비율 100(비율의 로그 2)에서 시작하면 완충 용액은 산에는 잘 버티지만 염기에는 거의 버티지 못합니다. 이미 거의 다 염기 형태이기 때문입니다.
완충 용액이 바닥날 무렵 헨더슨-하셀바흐 추정값과 정확한 pH를 비교해 봅니다.

모형의 가정

활동도가 아닌 농도. 실제 용액에서는 이온끼리 상호작용하므로 유효 농도(활동도)가 낮아지며, 이온 세기 0.1 M에서 10~25% 낮습니다. 측정되는 pKa도 이온 세기에 따라 달라져, 일반적인 완충 용액에서 인산의 pKa는 약 6.8까지 내려갑니다.
완충 용액마다 산-염기 쌍은 하나. 인산은 H₂PO₄⁻/HPO₄²⁻만, 탄산수소염은 CO₂/HCO₃⁻만으로 다루며, 나머지 해리(인산의 pKa 2.15와 12.35, 탄산수소염의 10.3)는 뺐습니다.
25 °C의 닫힌 비커, Kw = 10⁻¹⁴. 탄산수소염에서 CO₂는 공기 중으로 빠져나가지 않습니다.
정확한 양성자 수지. pH는 C_T[H⁺] ÷ ([H⁺] + Ka) + [H⁺] − Kw ÷ [H⁺] = (넣은 양성자) ÷ V에서 풀며, 이 식은 완충 용액이 바닥났을 때를 포함해 어떤 pH에서도 성립합니다.
넣은 용액은 즉시 섞이고 그만큼 부피가 늘어납니다. 처음 부피는 100 mL, 산과 염기는 1 M입니다.

경계 사례

바닥난 완충 용액: 한쪽 형태가 없어지면 헨더슨-하셀바흐 식은 0이나 음수의 로그가 되어 정의되지 않습니다. 정확한 풀이는 계속 계산하며 pH가 남는 강산이나 강염기를 따라가는 모습을 보여 줍니다.
아주 묽은 완충 용액(몇 mM)이 pH 7 근처일 때: 물 자체의 H⁺와 OH⁻를 무시할 수 없게 되어 단순한 식이 정확한 값에서 벗어납니다.
pKa에서 먼 pH: 비율이 100이나 1/100이면 한쪽 방향의 완충 용량이 거의 없고 헨더슨-하셀바흐 식도 덜 정확합니다.
순수한 물은 밀리몰 단위만 넣어도 pH가 약 5나 변합니다. 완충되지 않은 용액을 생화학에 쓸 수 없는 이유입니다.

모형이 맞지 않게 되는 경우

높은 이온 세기. 약 0.1 M를 넘으면 활동도 보정(데바이-휘켈, 데이비스)이 필요하고, 진한 완충 용액은 이 모형과 pH가 0.1 단위 이상 차이 날 수 있습니다.
온도. pKa는 온도에 따라 변하며, 트리스는 1 °C당 약 −0.03, 인산은 훨씬 적게 변합니다. 이 모형은 25 °C 값을 씁니다.
열린 계. 공기와 닿은 탄산수소염은 CO₂를 주고받습니다. 혈액은 CO₂를 숨으로 내쉬어 pH를 유지하며, 이 효과는 닫힌 비커에서 보는 것보다 훨씬 강력합니다.
다양성자산과 혼합계. 시트르산, 전체 범위의 인산, 여러 완충 성분이 섞인 체액에는 모든 pKa가 필요합니다. 단백질 자체도 곁사슬로 완충 작용을 합니다.
실제 pH 미터는 농도가 아닌 활동도를 읽고 보정이 필요합니다. 모든 것이 맞아도 미터 값은 계산한 pH와 0.05~0.1 차이 날 수 있습니다.

계산기

원하는 pH의 완충 용액은 완충 용액 계산기로 만들 수 있습니다. 산과 염기 용액의 pH는 pH 계산기로 구하고, 완충 구간이 곡선의 평평한 부분으로 나타나는 적정 전체는 적정 곡선 시뮬레이터에서 볼 수 있습니다. pH 구하는 방법은 강산과 약산을 손으로 계산하는 법을 다룹니다.

완충 용액의 원리: 헨더슨-하셀바흐 식과 완충 용량