스넬의 법칙과 전반사 쉽게 이해하기 (임계각 포함)

빛이 꺾이는 이유

빛은 공기보다 유리나 물속에서 더 느리게 갑니다. 얼마나 느린지를 나타내는 것이 굴절률 n이며, 굴절률이 n인 물질에서 빛은 c ÷ n의 속력으로 갑니다. 그래서 물(n = 1.333)에서는 1초에 300,000 km가 아니라 약 225,000 km를 갑니다. 빛이 경계를 비스듬히 지나면 한쪽이 먼저 느린 물질에 닿아 먼저 느려지므로 빛의 방향이 돌아갑니다. 행진하는 줄의 한쪽 끝이 진흙을 밟으면 줄이 꺾이는 것과 같습니다. 이렇게 방향이 바뀌는 것이 굴절입니다.

스넬의 법칙

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

θ₁은 입사각, θ₂는 굴절각이며, 둘 다 면이 아니라 법선(면에 수직인 선)에서 잽니다.
더 밀한 물질로 들어갈 때(n₂ > n₁) 빛은 법선 쪽으로 꺾이고, 그 물질에서 나올 때는 법선에서 멀어지는 쪽으로 꺾입니다.
정면으로 들어오는 빛(θ₁ = 0)은 꺾이지 않고 곧게 나아가며 느려지기만 합니다.

계산 예시

공기 중의 레이저가 법선에서 40° 기울어져 크라운 유리(n = 1.517) 덩어리에 닿는다고 합시다.

sin θ₂ = (1.000 ÷ 1.517) × sin 40° = 0.659 × 0.643 = 0.424.
θ₂ = arcsin 0.424 = 25.1°.

빛이 모두 들어가지는 않습니다. 반사되는 비율은 프레넬 방정식으로 구하며, 공기에서 이 유리로 40°로 들어갈 때 약 4.8%, 정면이면 ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4.2%입니다. 면이 두 개인 유리창은 약 8%를 반사하므로 밤에 희미하게 비쳐 보입니다.

임계각과 전반사

밀한 물질에서 덜 밀한 물질로 갈 때 굴절광은 법선에서 멀어지는 쪽으로 꺾이고, 각도가 충분히 크면 90°보다 큰 각으로 나가야 합니다. 그럴 수는 없으므로 빛이 전혀 나가지 못하고 모두 반사됩니다. 이 일이 시작되는 각이 임계각입니다.

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (n₁ > n₂일 때만)

물에서 공기로: θ_c = arcsin(1 ÷ 1.333) = 48.6°. 물속에서 수면을 올려다보면 이 각보다 바깥은 거울처럼 보입니다.
크라운 유리에서 공기로: 41.2°. 그래서 45° 프리즘은 빛을 완전히 반사하며 은 거울보다 낫습니다. 쌍안경과 잠망경은 이렇게 빛의 경로를 꺾습니다.
다이아몬드에서 공기로: 24.4°. 잘 깎은 다이아몬드에 들어간 빛은 대부분 안에 갇혀 여러 번 반사된 뒤 윗면으로 나옵니다. 이것이 반짝임의 비밀입니다.

임계각 전에도 반사 비율은 빠르게 커집니다. 유리에서 공기로는 정면에서 4%, 35°에서 약 10%, 41.2°에서 100%입니다.

브루스터 각

tan θ_B = n₂ ÷ n₁인 각(공기에서 크라운 유리로 56.6°, 수면에서 53.1°)에서는 입사면 안에서 편광된 빛이 전혀 반사되지 않으므로, 반사광은 면에 평행하게 완전히 편광됩니다. 편광 선글라스는 이 방향의 빛을 막기 때문에 물과 도로의 눈부심을 줄여 줍니다.

프리즘과 분산

굴절률은 파장에 따라 조금씩 다릅니다. 크라운 유리는 400 nm 보랏빛에서 약 1.531, 700 nm 빨간빛에서 1.513이므로, 프리즘의 각 면에서 보랏빛이 더 많이 꺾여 백색광이 스펙트럼으로 퍼집니다. 코시 공식 n(λ) = A + B ÷ λ²는 가시광선 영역에서 이를 잘 나타내며, 시뮬레이션도 이 공식을 씁니다. 프리즘을 지나는 빛의 편향각은 빛이 프리즘을 대칭으로 지날 때 가장 작고, 이 최솟값으로 굴절률을 구할 수 있습니다: n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2), A는 꼭지각입니다. 꼭지각 60°인 크라운 유리 프리즘에서 δ_min은 약 38.6°입니다.

광섬유

광섬유는 전반사로 빛을 가둡니다. 유리 코어를 굴절률이 조금 낮은 클래딩이 감싸고 있습니다. 수광각 안으로 끝에서 들어온 빛은 매번 임계각보다 큰 각으로 옆면에 부딪혀 몇 킬로미터나 전달됩니다. 개구수는 NA = √(n_코어² − n_클래딩²) = sin θ_max(공기 중)입니다. 굴절률 1.455인 클래딩에 1.47인 코어라면 NA = 0.21, 수광각은 약 12°입니다.

시뮬레이션 사용법

굴절과 전반사 시뮬레이터에서 두 물질을 고르고 각도를 정하세요. 광선, 희미한 반사광, 법선이 그려지고, 광선을 따라 움직이는 점은 각 물질에서 n분의 1 속력으로 느려집니다. 그래프는 두 편광 각각에 대해 반사 비율을 각도에 따라 그리고, 현재 각도, 브루스터 각, 임계각(있을 때)을 표시합니다. 다음을 해 보세요.

물에서 공기로 놓고 각도를 앞뒤로 움직이기: 굴절광이 수면에 눕다가 48.6°에서 사라집니다.
백색광으로 프리즘: 최소 편향각을 읽고, 크라운 유리를 플린트 유리로 바꾸면 스펙트럼이 넓어집니다.
유리 주위를 물로 하고 광섬유를 30°, 그다음 80°로: 수광각을 넘으면 빛이 옆으로 빠져나갑니다.

모형의 가정

광선. 빛을 곧게 나아가는 가는 광선으로 다룹니다. 이것이 기하광학이며, 빛이 만나는 모든 것이 파장(약 0.5 µm)보다 훨씬 클 때 정확합니다.
평평하고 깨끗하며 또렷한 경계가 균일하고 투명한 두 물질 사이에 있고, 내부에서 흡수나 산란은 없다고 봅니다. 반사되지 않은 빛은 모두 투과합니다.
반사 비율은 비편광 빛 기준으로 두 편광의 평균을 씁니다. 그래프에는 각 편광도 따로 보여 줍니다.
굴절률은 코시 공식으로, 20 °C에서 각 물질의 대표값에 맞췄습니다. 실제 유리는 종류와 생산 단위에 따라 소수 셋째 자리가 달라집니다.
주 광선만 따라갑니다. 프리즘이나 광섬유에서는 첫 반사광도 그립니다. 실제로는 각 면이 몇 %를 더 반사해 희미한 고스트 광선이 생기지만 시뮬레이션에는 그리지 않습니다.
광섬유는 처음 고른 물질 속에 놓인 코어이며, 그 물질이 클래딩 역할을 합니다. 그래서 주위가 공기면 수광각이 90°입니다. 현실적인 제한된 수광각을 보려면 유리 주위를 물로 고르세요.

경계 사례

θ₁ = 0: 빛은 꺾이지 않고 지나가며, 그 물질 조합에서 반사 비율이 가장 작습니다.
굴절률이 같음: 경계에서 아무 일도 일어나지 않아 꺾임도 반사도 없습니다. 같은 굴절률의 기름에 넣은 유리 막대는 보이지 않게 되며, 유리의 굴절률을 확인하는 방법으로 쓰입니다.
정확히 임계각에서는 굴절광이 면을 따라 진행하며 에너지를 나르지 않습니다. 조금만 넘어도 전반사입니다.
90° 가까이(스치듯 입사)에서는 공기에서 유리로 가더라도 어떤 면이든 빛 대부분이 반사됩니다. 도로나 호수를 길게 바라보면 거울처럼 보이는 이유입니다.
꼭지각이 큰 프리즘이나 굴절률이 높은 경우: 빛이 두 번째 면에 임계각보다 큰 각으로 닿아 밖으로 나가지 못하고 프리즘 안으로 반사되며, 최소 편향각이 없습니다.

모형이 맞지 않게 되는 경우

작은 것. 폭이 파장의 몇 배밖에 안 되는 슬릿, 회절격자, 물방울, 광섬유에서는 빛이 회절하는데, 광선으로는 나타낼 수 없습니다. 이중 슬릿 실험 시뮬레이터에서 파동의 모습을 볼 수 있습니다. 실제 통신용 단일 모드 광섬유는 코어가 약 9 µm여서 도파관으로 다뤄야 합니다.
깨진 전반사. 전반사 때도 약한 소멸파가 면 너머 약 한 파장까지 스며 나옵니다. 그만큼 가까이 다른 유리를 가져가면 빛이 터널링으로 건너가는데, 광선 광학에서는 불가능한 일입니다.
빛을 흡수하는 물질과 금속은 복소 굴절률을 가지며, 여기서 쓰는 단순한 프레넬 공식이 맞지 않습니다. 반사 방지막처럼 두께가 파장의 몇 분의 1인 막은 간섭으로 작동하는데, 시뮬레이션에는 포함되지 않습니다.
가시광선 밖의 파장. 자외선과 적외선의 흡수대 근처에서는 굴절률이 급격히 변해 코시 공식이 맞지 않으며, 셀마이어 방정식을 씁니다.
균일하지 않은 물질. 뜨거운 도로 위처럼 온도가 다른 공기는 굴절률이 서서히 변해서 빛이 한 면에서 꺾이는 대신 휘어져 나아가며 신기루가 생깁니다. 시뮬레이션에는 또렷한 경계만 있습니다.
방해석 같은 결정은 복굴절성이 있어 굴절률이 편광과 방향에 따라 달라지고, 광선 하나가 둘로 갈라집니다.

스넬의 법칙, 굴절과 전반사

빛이 꺾이는 이유