Das Bernoulli-Prinzip erklärt: Kontinuität, Venturi-Rohr und Rohrreibung

Kontinuität: was hineinfließt, muss herauskommen

Eine Flüssigkeit lässt sich kaum zusammendrücken, also muss in einem dichten Rohr jede Sekunde durch jeden Querschnitt dasselbe Volumen fließen. Der Volumenstrom ist der Querschnitt mal die mittlere Geschwindigkeit, also

Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, mit A = π D² ÷ 4

Wo das Rohr enger wird, wird die Flüssigkeit schneller, und zwar um das Verhältnis der Flächen, also das Quadrat des Verhältnisses der Durchmesser. Halbierst du den Durchmesser, steigt die Geschwindigkeit auf das Vierfache. Darum spritzt das Wasser weiter, wenn du den Daumen auf den Gartenschlauch hältst.

Die Bernoulli-Gleichung

Um die Flüssigkeit zu beschleunigen, braucht es Energie, und in einer stationären Strömung ohne Reibung kommt sie aus dem Druck. Daniel Bernoulli zeigte 1738, dass entlang einer Stromlinie gilt:

P + ½ ρ v² + ρ g z = konstant

• P ist der Druck, die Arbeit, die die nachfolgende Flüssigkeit verrichtet, wenn sie die vordere vor sich herschiebt.
• ½ρv² ist die kinetische Energie pro Volumen, manchmal dynamischer Druck genannt.
• ρgz ist die potenzielle Energie pro Volumen in der Höhe z.

Wo die Flüssigkeit schneller oder höher fließt, ist ihr Druck also niedriger. Es ist die Energieerhaltung, geschrieben pro Kubikmeter Flüssigkeit.

Ein Rechenbeispiel

Wasser (ρ = 998 kg/m³) fließt mit 10 L/s durch ein 10-cm-Rohr, das sich auf eine Engstelle von 5 cm verjüngt und danach 1 m ansteigt. Der Druck am Einlass liegt 150 kPa über dem Luftdruck.

1. Flächen: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
2. Geschwindigkeiten: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
3. Druck in der Engstelle: ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa weniger, also 137,9 kPa.
4. Nach dem Anstieg, wieder im 10-cm-Rohr: Die Geschwindigkeit ist wieder 1,27 m/s, die einzige Änderung gegenüber dem Einlass ist also ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa, es bleiben 140,2 kPa.

Hinter der Engstelle erholt sich der Druck: Ohne Reibung geht nichts verloren, er wurde nur in Geschwindigkeit umgewandelt und wieder zurück.

Das Venturi-Rohr

Dreh das Beispiel um: Miss den Druckabfall zwischen Rohr und Engstelle, und Kontinuität und Bernoulli zusammen liefern den Durchfluss,

Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))

Mit ΔP = 12,1 kPa ergibt das 10 L/s. Venturi-Rohre messen den Durchfluss in Wasserleitungen und Industrierohren ohne bewegliche Teile; echte Geräte multiplizieren mit einem Durchflussbeiwert von etwa 0,98, um die Reibung zu berücksichtigen. Dasselbe Prinzip steckt in Vergasern, Farbspritzpistolen und den Venturi-Masken, die im Krankenhaus Sauerstoff mit Luft mischen.

Viskosität und die Reynolds-Zahl

Echte Flüssigkeiten sind viskos: Sie haften an der Wand, die Geschwindigkeit ist dort null und in der Mitte am größten. Wie sich die Strömung verhält, hängt von der Reynolds-Zahl ab,

Re = ρ v D ÷ μ

wobei μ die Viskosität ist. Unter etwa 2.300 ist die Strömung in einem Rohr laminar: glatte Schichten gleiten aneinander vorbei, mit einem parabolischen Geschwindigkeitsprofil, dessen Mitte doppelt so schnell ist wie der Mittelwert. Über etwa 4.000 ist sie turbulent: chaotische Wirbel durchmischen die Flüssigkeit und machen das Profil flacher. Dazwischen springt sie hin und her. Wasser mit 1,27 m/s in einem 10-cm-Rohr hat Re = 127.000, eindeutig turbulent; Honig (μ etwa 10 Pa·s) mit 0,3 m/s in einem 2-cm-Rohr hat Re von etwa 1.

Reibungsverluste

Die Viskosität wandelt einen Teil der Energie der Strömung in Wärme um, also nimmt P + ½ρv² + ρgz entlang des Rohrs ab. Die Darcy-Weisbach-Gleichung gibt den Verlust über eine Länge L an:

ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²

• Laminar: f = 64 ÷ Re, das ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). Der Verlust steigt mit der vierten Potenz der Enge: Halbierst du den Radius, brauchst du den sechzehnfachen Druck.
• Turbulent, glattes Rohr: f ≈ 0,316 Re^−1/4 (Blasius). Für das 10-cm-Wasserrohr ist f = 0,017 und der Verlust etwa 0,14 kPa pro Meter; in der 5-cm-Engstelle etwa 3,6 kPa pro Meter.

Honig mit 0,1 L/s in einem 2-cm-Rohr verliert etwa 255 kPa pro Meter. Darum brauchen dicke Flüssigkeiten weite Rohre und starke Pumpen.

Die Simulation benutzen

Im Simulator für Strömung und das Bernoulli-Prinzip stellst du Volumenstrom, Durchmesser, Höhe und Einlassdruck ein und liest die Säulen über den Querschnitten A, B und C ab. Zum Ausprobieren:

• Halbiere den Durchmesser der Engstelle von 10 cm auf 5 cm: Die Geschwindigkeit darin vervierfacht sich und der Abfall wird sechzehnmal so groß.
• Stell die Höhe negativ ein: Der Auslass liegt tiefer, und sein Druck ist höher als am Einlass.
• Verenge die Engstelle bei 10 L/s auf 2 cm: Der Druck dort müsste unter den Dampfdruck von Wasser fallen, und die Simulation warnt vor Kavitation.
• Hake Reibung einbeziehen an und wechsle zu Honig: Das Profil wird zur Parabel, Re liegt bei etwa 1, und die gestrichelte Linie der Gesamtenergie fällt steil ab.

Was das Modell annimmt

• Stationäre, inkompressible Strömung. Der Volumenstrom ändert sich nicht mit der Zeit und die Dichte ist konstant, sogar bei Luft.
• Eine Geschwindigkeit pro Querschnitt. Die Bernoulli-Gleichung wird auf die mittlere Geschwindigkeit angewendet; das Geschwindigkeitsprofil ändert nur, wie sich die Punkte bewegen.
• Reibung aus Formeln für gerade Rohre, entlang des Rohrs aufsummiert: 64 ÷ Re für laminare Strömung, Blasius für turbulente Strömung im glatten Rohr und eine Gerade dazwischen von Re 2.300 bis 4.000.
• Keine Einzelverluste. Verengung und Erweiterung selbst kosten nichts zusätzlich.
• Feste Stoffwerte bei etwa 20 °C: Wasser 998 kg/m³ und 1,0 mPa·s, Olivenöl 911 kg/m³ und 81 mPa·s, Glycerin 1.260 kg/m³ und 1,41 Pa·s, Honig 1.420 kg/m³ und etwa 10 Pa·s, Luft 1,2 kg/m³ und 18 µPa·s.
• Säulen, die übertreiben. Die Höhen zeigen die Unterschiede zwischen den Messstellen gestreckt, sie sind untereinander also nicht maßstäblich; die Beschriftungen geben die echten Drücke an.

Grenzfälle

• Engstelle so weit wie das Rohr: keine Beschleunigung, kein Abfall, und die Venturi-Formel hat nichts zu messen.
• Engstelle weiter als das Rohr: Die Flüssigkeit wird langsamer und der Druck steigt, das Prinzip eines Diffusors.
• Sehr niedriger Druck: Fiele der absolute Druck unter den Dampfdruck (2,3 kPa für Wasser bei 20 °C), siedet die Flüssigkeit zu Blasen, die stromabwärts heftig zusammenfallen. Diese Kavitation zerfrisst Schiffsschrauben und Pumpenlaufräder.
• Negativer absoluter Druck ist für eine Flüssigkeit im Rohr unmöglich; der gewünschte Durchfluss kann mit diesem Einlassdruck nicht entstehen.

Wo das Modell nicht mehr stimmt

• Plötzliche Erweiterungen verlieren viel Energie an Wirbel: Der Borda-Carnot-Verlust, ½ρ(v₁ − v₂)², beträgt etwa 7,3 kPa, wenn die Engstelle aus dem Beispiel schlagartig ins Rohr übergeht. Sanfte Kegel wie der gezeichnete gewinnen das meiste zurück, darum haben Venturi-Rohre lange, sich weitende Ausläufe.
• Kompressible Strömung. Über etwa einem Drittel der Schallgeschwindigkeit (rund 100 m/s in Luft) werden Gase merklich zusammengedrückt, und die Bernoulli-Gleichung in dieser Form unterschätzt die Druckänderungen; nahe Mach 1 wird die Strömung gesperrt.
• Raue Rohre und sehr hohe Reynolds-Zahlen. Blasius gilt in glatten Rohren nur bis etwa Re 100.000; echte Rohre brauchen die Colebrook-Gleichung oder ein Moody-Diagramm mit der Rauheit der Wand.
• Instationäre Strömung. Schließt ein Ventil schnell, läuft eine Druckwelle durchs Rohr zurück (Druckstoß), die weit größer ist als jeder stationäre Wert.
• Nicht-newtonsche Flüssigkeiten wie Blut, Ketchup und Farbe ändern ihre Viskosität mit der Schergeschwindigkeit, und die Viskosität von Honig hängt stark von Temperatur und Wassergehalt ab.
• Auftrieb an Flügeln. Die Bernoulli-Gleichung beschreibt den niedrigeren Druck über einem Flügel, erklärt aber allein nicht, warum die Luft dort schneller ist; die Erklärung mit der „gleichen Laufzeit“ ist falsch.

Rechner

Berechne Durchfluss, Geschwindigkeit und Druckverlust in echten Rohren mit dem Rohrströmungsrechner, prüfe mit dem Reynolds-Zahl-Rechner, ob eine Strömung laminar ist, und rechne mit dem Volumenumrechner zwischen Litern, Gallonen und Kubikmetern um. Durchfluss und Druckverlust in einem Rohr berechnen zeigt die Rechnung von Hand.