Continuidade: o que entra tem de sair
Um líquido quase não se comprime, então num tubo sem vazamentos o mesmo volume tem de passar por cada seção a cada segundo. A vazão é a área da seção vezes a velocidade média, de modo que
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, com A = π D² ÷ 4
Onde o tubo se estreita, o fluido acelera na razão das áreas, que é o quadrado da razão dos diâmetros. Reduza o diâmetro à metade e a velocidade fica quatro vezes maior. É por isso que a água vai mais longe quando você tapa a ponta da mangueira com o polegar.
A equação de Bernoulli
Acelerar o fluido custa energia, e num escoamento estacionário sem atrito ela vem da pressão. Daniel Bernoulli mostrou em 1738 que, ao longo de uma linha de corrente,
P + ½ ρ v² + ρ g z = constante
- P é a pressão, o trabalho que o fluido de trás faz ao empurrar o da frente.
- ½ρv² é a energia cinética por unidade de volume, às vezes chamada de pressão dinâmica.
- ρgz é a energia potencial por unidade de volume na altura z.
Então, onde o fluido anda mais rápido, ou mais alto, sua pressão é menor. É a conservação da energia escrita por metro cúbico de fluido.
Um exemplo resolvido
Água (ρ = 998 kg/m³) escoa a 10 L/s por um tubo de 10 cm que se estreita para 5 cm e depois sobe 1 m. A pressão na entrada é 150 kPa acima da atmosférica.
- Áreas: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
- Velocidades: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
- Pressão no estreitamento: ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa a menos, ou seja, 137,9 kPa.
- Depois da subida, de volta ao tubo de 10 cm: a velocidade volta a ser 1,27 m/s, então a única mudança em relação à entrada é ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa, restando 140,2 kPa.
A pressão se recupera depois do estreitamento: sem atrito nada se perde, ela só virou velocidade e depois voltou.
O medidor Venturi
Inverta o exemplo: meça a queda de pressão entre o tubo e o estreitamento, e a continuidade e Bernoulli juntas dão a vazão,
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
Com ΔP = 12,1 kPa, o resultado é 10 L/s. Medidores Venturi medem a vazão em redes de água e tubulações industriais sem peças móveis; os reais multiplicam por um coeficiente de descarga de cerca de 0,98 para levar em conta o atrito. O mesmo princípio faz funcionar carburadores, pistolas de pintura e as máscaras de Venturi que misturam oxigênio com ar nos hospitais.
Viscosidade e o número de Reynolds
Fluidos reais são viscosos: grudam na parede, então ali a velocidade é zero e no centro é máxima. Como o escoamento se comporta depende do número de Reynolds,
Re = ρ v D ÷ μ
em que μ é a viscosidade. Abaixo de cerca de 2.300, o escoamento num tubo é laminar: camadas suaves deslizando umas sobre as outras, com um perfil de velocidade parabólico cujo centro anda ao dobro da média. Acima de cerca de 4.000 é turbulento: redemoinhos caóticos misturam o fluido e achatam o perfil. Entre os dois, ele alterna. Água a 1,27 m/s num tubo de 10 cm tem Re = 127.000, claramente turbulento; mel (μ de cerca de 10 Pa·s) a 0,3 m/s num tubo de 2 cm tem Re de cerca de 1.
Perdas por atrito
A viscosidade transforma parte da energia do escoamento em calor, então P + ½ρv² + ρgz diminui ao longo do tubo. A equação de Darcy-Weisbach dá a perda num comprimento L:
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- Laminar: f = 64 ÷ Re, que é a lei de Hagen-Poiseuille, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). A perda cresce com a quarta potência do estreitamento: reduzir o raio à metade exige dezesseis vezes mais pressão.
- Turbulento, tubo liso: f ≈ 0,316 Re−1/4 (Blasius). Para o tubo de água de 10 cm, f = 0,017 e a perda é de cerca de 0,14 kPa por metro; no estreitamento de 5 cm, cerca de 3,6 kPa por metro.
Mel a 0,1 L/s num tubo de 2 cm perde cerca de 255 kPa a cada metro, e é por isso que líquidos grossos precisam de tubos largos e bombas fortes.
Como usar a simulação
No Simulador de escoamento e princípio de Bernoulli, ajuste a vazão, os diâmetros, a altura e a pressão de entrada, e leia as colunas sobre as seções A, B e C. Experimente:
- Reduza o diâmetro do estreitamento de 10 cm para 5 cm: a velocidade nele quadruplica e a queda fica dezesseis vezes maior.
- Coloque uma altura negativa: a saída fica mais baixa, e sua pressão é maior que a da entrada.
- Estreite a passagem para 2 cm com 10 L/s: a pressão ali teria de cair abaixo da pressão de vapor da água, e a simulação avisa de cavitação.
- Marque Incluir o atrito e troque para mel: o perfil vira uma parábola, Re fica em torno de 1 e a linha tracejada da energia total cai bruscamente.
O que o modelo supõe
- Escoamento estacionário e incompressível. A vazão não muda com o tempo e a densidade é constante, até para o ar.
- Uma velocidade por seção. A equação de Bernoulli é aplicada à velocidade média; o perfil de velocidade só muda como os pontos se movem.
- Atrito por fórmulas de tubo reto, integradas ao longo do tubo: 64 ÷ Re para o escoamento laminar, Blasius para o turbulento em tubo liso e uma reta entre os dois de Re 2.300 a 4.000.
- Sem perdas localizadas. O estreitamento e o alargamento em si não perdem nada a mais.
- Propriedades fixas a cerca de 20 °C: água 998 kg/m³ e 1,0 mPa·s, azeite 911 kg/m³ e 81 mPa·s, glicerina 1.260 kg/m³ e 1,41 Pa·s, mel 1.420 kg/m³ e cerca de 10 Pa·s, ar 1,2 kg/m³ e 18 µPa·s.
- Colunas que exageram. As alturas mostram as diferenças entre os pontos de medida esticadas para caber, então não estão em escala entre si; os rótulos dão as pressões reais.
Casos-limite
- Estreitamento tão largo quanto o tubo: sem aceleração, sem queda, e a fórmula do Venturi não tem nada a medir.
- Estreitamento mais largo que o tubo: o fluido desacelera e a pressão sobe, o princípio de um difusor.
- Pressão muito baixa: se a pressão absoluta caísse abaixo da pressão de vapor (2,3 kPa para a água a 20 °C), o líquido ferveria em bolhas que colapsam violentamente mais adiante. Essa cavitação desgasta hélices de navios e rotores de bombas.
- Pressão absoluta negativa é impossível para um líquido num tubo; a vazão pedida não pode acontecer com aquela pressão de entrada.
Onde o modelo deixa de valer
- Alargamentos bruscos perdem muita energia em redemoinhos: a perda de Borda-Carnot, ½ρ(v₁ − v₂)², é de cerca de 7,3 kPa se o estreitamento do exemplo se abrir de repente para o tubo. Cones suaves, como o desenhado, recuperam a maior parte, e é por isso que os medidores Venturi têm saídas longas e cônicas.
- Escoamento compressível. Acima de cerca de um terço da velocidade do som (uns 100 m/s no ar), os gases se comprimem de forma perceptível e a equação de Bernoulli nesta forma subestima as variações de pressão; perto de Mach 1 o escoamento fica bloqueado.
- Tubos rugosos e números de Reynolds muito altos. Blasius só vale até Re de cerca de 100.000 em tubos lisos; tubos reais precisam da equação de Colebrook ou de um diagrama de Moody com a rugosidade da parede.
- Escoamento não estacionário. Fechar uma válvula de repente manda uma onda de pressão de volta pelo tubo (golpe de aríete) muito maior que qualquer valor estacionário.
- Fluidos não newtonianos, como sangue, ketchup e tinta, mudam de viscosidade conforme a rapidez com que são cisalhados, e a viscosidade do mel depende muito da temperatura e do teor de água.
- Sustentação em asas. A equação de Bernoulli descreve a pressão menor sobre uma asa, mas sozinha não explica por que o ar anda mais rápido ali; a explicação do "mesmo tempo de percurso" é falsa.
Calculadoras
Calcule vazões, velocidades e quedas de pressão em tubulações reais com a Calculadora de escoamento em tubos, verifique se um escoamento é laminar com a Calculadora do número de Reynolds e converta entre litros, galões e metros cúbicos com o Conversor de volume. Como calcular a vazão e a perda de carga em uma tubulação mostra as contas à mão.