बर्नूली सिद्धांत समझें: सांतत्य, वेंचुरी मीटर और पाइप घर्षण

सांतत्य: जो अंदर जाता है, वही बाहर आता है

द्रव लगभग संपीड़ित नहीं होता, इसलिए बिना रिसाव वाले पाइप में हर सेकंड हर खंड से उतना ही आयतन गुज़रना चाहिए। आयतन प्रवाह दर खंड के क्षेत्रफल और औसत वेग का गुणनफल है, इसलिए

Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, जहाँ A = π D² ÷ 4

जहाँ पाइप संकरा होता है, वहाँ तरल क्षेत्रफलों के अनुपात से तेज़ होता है, यानी व्यासों के अनुपात के वर्ग से। व्यास आधा करें तो वेग चार गुना हो जाता है। इसीलिए बगीचे की नली के मुँह पर अँगूठा रखने से पानी ज़्यादा दूर जाता है।

बर्नूली समीकरण

तरल को तेज़ करने में ऊर्जा लगती है, और बिना घर्षण वाले स्थिर प्रवाह में यह ऊर्जा दाब से आती है। डैनियल बर्नूली ने 1738 में दिखाया कि किसी धारा रेखा के साथ

P + ½ ρ v² + ρ g z = स्थिरांक

• P दाब है, यानी पीछे का तरल आगे के तरल को धकेलने में जो कार्य करता है।
• ½ρv² प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा है, जिसे कभी-कभी गतिक दाब कहते हैं।
• ρgz ऊँचाई z पर प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा है।

इसलिए जहाँ तरल तेज़ चलता है, या ऊँचाई पर होता है, वहाँ उसका दाब कम होता है। यह प्रति घन मीटर तरल के लिए लिखा गया ऊर्जा संरक्षण है।

एक हल किया उदाहरण

पानी (ρ = 998 kg/m³) 10 L/s की दर से 10 cm के पाइप में बहता है, जो 5 cm तक संकरा होता है और फिर 1 m ऊपर चढ़ता है। प्रवेश पर दाब वायुमंडल से 150 kPa ऊपर है।

1. क्षेत्रफल: A₁ = π × 0.1² ÷ 4 = 0.00785 m², A₂ = 0.00196 m²।
2. वेग: v₁ = 0.010 ÷ 0.00785 = 1.27 m/s, v₂ = 0.010 ÷ 0.00196 = 5.09 m/s।
3. संकरे हिस्से में दाब: ½ × 998 × (5.09² − 1.27²) = 12.1 kPa कम, यानी 137.9 kPa।
4. चढ़ाई के बाद, फिर से 10 cm के पाइप में: वेग फिर 1.27 m/s है, इसलिए प्रवेश की तुलना में एकमात्र बदलाव ρgh = 998 × 9.81 × 1 = 9.8 kPa है, और 140.2 kPa बचता है।

संकरे हिस्से के बाद दाब लौट आता है: घर्षण के बिना कुछ नहीं खोता, दाब बस वेग में बदला और फिर वापस आ गया।

वेंचुरी मीटर

उदाहरण को उलट दें: पाइप और संकरे हिस्से के बीच दाब की गिरावट नापें, तो सांतत्य और बर्नूली मिलकर प्रवाह दर देते हैं,

Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))

ΔP = 12.1 kPa पर यह 10 L/s देता है। वेंचुरी मीटर बिना किसी चलते पुर्ज़े के पानी की मुख्य लाइनों और औद्योगिक पाइपों में प्रवाह नापते हैं; असली मीटर घर्षण का हिसाब रखने के लिए लगभग 0.98 के निस्सरण गुणांक से गुणा करते हैं। यही सिद्धांत कार्बोरेटर, पेंट स्प्रेयर और अस्पतालों में ऑक्सीजन को हवा में मिलाने वाले वेंचुरी मास्क को चलाता है।

श्यानता और रेनॉल्ड्स संख्या

असली तरल श्यान होते हैं: वे दीवार से चिपकते हैं, इसलिए वहाँ वेग शून्य और बीच में सबसे ज़्यादा होता है। प्रवाह कैसा व्यवहार करेगा, यह रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर है,

Re = ρ v D ÷ μ

जहाँ μ श्यानता है। लगभग 2,300 से नीचे पाइप में प्रवाह स्तरीय होता है: चिकनी परतें एक-दूसरे पर फिसलती हैं, और वेग का आकार परवलयी होता है जिसका केंद्र औसत से दोगुनी गति से चलता है। लगभग 4,000 से ऊपर यह विक्षुब्ध होता है: बेतरतीब भँवर तरल को मिलाते हैं और आकार को चपटा कर देते हैं। बीच में यह दोनों के बीच पलटता रहता है। 10 cm के पाइप में 1.27 m/s पर पानी का Re = 127,000 है, साफ़ तौर पर विक्षुब्ध; 2 cm के पाइप में 0.3 m/s पर शहद (μ लगभग 10 Pa·s) का Re लगभग 1 है।

घर्षण से हानि

श्यानता प्रवाह की कुछ ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देती है, इसलिए P + ½ρv² + ρgz पाइप में आगे घटता जाता है। डार्सी–वाइसबाख समीकरण लंबाई L पर हानि बताता है:

ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²

• स्तरीय: f = 64 ÷ Re, जो हेगन–प्वाज़ाय नियम है, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴)। हानि संकरेपन की चौथी घात से बढ़ती है: त्रिज्या आधी करने पर सोलह गुना दाब चाहिए।
• विक्षुब्ध, चिकना पाइप: f ≈ 0.316 Re^−1/4 (ब्लासियस)। 10 cm के पानी वाले पाइप के लिए f = 0.017 और हानि लगभग 0.14 kPa प्रति मीटर है; 5 cm के संकरे हिस्से में लगभग 3.6 kPa प्रति मीटर।

2 cm के पाइप में 0.1 L/s पर शहद हर मीटर में लगभग 255 kPa खोता है, इसीलिए गाढ़े द्रवों को चौड़े पाइप और ताकतवर पंप चाहिए।

सिम्युलेशन का उपयोग

तरल प्रवाह और बर्नूली सिद्धांत सिम्युलेटर में प्रवाह दर, व्यास, ऊँचाई और प्रवेश दाब सेट करें, और खंड A, B और C के ऊपर के स्तंभ पढ़ें। आज़माने के लिए:

• संकरे हिस्से का व्यास 10 cm से घटाकर 5 cm करें: उसमें वेग चार गुना हो जाता है और गिरावट सोलह गुना।
• ऊँचाई ऋणात्मक करें: निकास नीचे है, और उसका दाब प्रवेश से ज़्यादा है।
• 10 L/s पर रास्ता 2 cm तक संकरा करें: वहाँ दाब को पानी के वाष्प दाब से नीचे जाना पड़ेगा, और सिम्युलेशन कोटरन की चेतावनी देता है।
• घर्षण शामिल करें चुनें और शहद पर जाएँ: आकार परवलय बन जाता है, Re लगभग 1 है, और कुल ऊर्जा की टूटी रेखा तेज़ी से गिरती है।

मॉडल क्या मानकर चलता है

• स्थिर, असंपीड्य प्रवाह। प्रवाह दर समय के साथ नहीं बदलती और घनत्व स्थिर रहता है, हवा के लिए भी।
• हर खंड पर एक वेग। बर्नूली समीकरण औसत वेग पर लगाया जाता है; वेग का आकार सिर्फ़ बिंदुओं की चाल बदलता है।
• सीधे पाइप के सूत्रों से घर्षण, पाइप के साथ जोड़ा गया: स्तरीय प्रवाह के लिए 64 ÷ Re, चिकने पाइप में विक्षुब्ध प्रवाह के लिए ब्लासियस, और Re 2,300 से 4,000 तक दोनों के बीच सीधी रेखा।
• कोई गौण हानि नहीं। संकरापन और फैलाव ख़ुद कोई अतिरिक्त हानि नहीं करते।
• लगभग 20 °C पर तय गुण: पानी 998 kg/m³ और 1.0 mPa·s, जैतून का तेल 911 kg/m³ और 81 mPa·s, ग्लिसरॉल 1,260 kg/m³ और 1.41 Pa·s, शहद 1,420 kg/m³ और लगभग 10 Pa·s, हवा 1.2 kg/m³ और 18 µPa·s।
• बढ़ा-चढ़ाकर दिखाने वाले स्तंभ। ऊँचाइयाँ मापने के बिंदुओं के बीच के अंतर को खींचकर दिखाती हैं, इसलिए वे आपस में पैमाने पर नहीं हैं; लेबल असली दाब बताते हैं।

सीमांत स्थितियाँ

• संकरा हिस्सा पाइप जितना चौड़ा: न तेज़ी, न गिरावट, और वेंचुरी सूत्र के पास नापने को कुछ नहीं।
• संकरा हिस्सा पाइप से चौड़ा: तरल धीमा होता है और दाब बढ़ता है, जो डिफ़्यूज़र का सिद्धांत है।
• बहुत कम दाब: अगर निरपेक्ष दाब वाष्प दाब (20 °C पर पानी के लिए 2.3 kPa) से नीचे चला जाए, तो द्रव उबलकर बुलबुले बनाता है जो आगे जाकर ज़ोर से फूटते हैं। यह कोटरन जहाज़ के प्रोपेलर और पंप के इम्पेलर को घिस देता है।
• ऋणात्मक निरपेक्ष दाब पाइप में द्रव के लिए असंभव है; उस प्रवेश दाब पर आपका माँगा गया प्रवाह हो ही नहीं सकता।

मॉडल कहाँ सही नहीं रहता

• अचानक फैलाव भँवरों में बहुत ऊर्जा खोते हैं: बोर्डा–कार्नो हानि, ½ρ(v₁ − v₂)², लगभग 7.3 kPa है अगर उदाहरण का संकरा हिस्सा अचानक पाइप में खुल जाए। धीमे शंकु, जैसा चित्र में है, इसका ज़्यादातर हिस्सा वापस ले आते हैं, इसीलिए वेंचुरी मीटरों के निकास लंबे और धीरे-धीरे फैलते हैं।
• संपीड्य प्रवाह। ध्वनि की गति के लगभग एक-तिहाई (हवा में लगभग 100 m/s) से ऊपर गैसें काफ़ी संपीड़ित होती हैं और इस रूप में बर्नूली समीकरण दाब के बदलावों को कम आँकता है; Mach 1 के पास प्रवाह अवरुद्ध हो जाता है।
• खुरदरे पाइप और बहुत ऊँची रेनॉल्ड्स संख्याएँ। ब्लासियस चिकने पाइप में सिर्फ़ लगभग Re 100,000 तक चलता है; असली पाइपों के लिए दीवार के खुरदरेपन के साथ कोलब्रुक समीकरण या मूडी चार्ट चाहिए।
• अस्थिर प्रवाह। वाल्व तेज़ी से बंद करने पर पाइप में पीछे की ओर एक दाब तरंग (वॉटर हैमर) जाती है, जो किसी भी स्थिर मान से कहीं बड़ी होती है।
• गैर-न्यूटनी तरल जैसे खून, केचप और पेंट, कतरन की गति के साथ अपनी श्यानता बदलते हैं, और शहद की श्यानता उसके तापमान और पानी की मात्रा पर बहुत निर्भर करती है।
• पंखों पर उत्थापन। बर्नूली समीकरण पंख के ऊपर कम दाब का वर्णन करता है, पर अकेले यह नहीं बताता कि वहाँ हवा तेज़ क्यों चलती है; "बराबर यात्रा समय" वाली व्याख्या गलत है।

कैलकुलेटर

असली पाइपों में प्रवाह दर, वेग और दाब की गिरावट पाइप फ़्लो कैलकुलेटर से निकालें, रेनॉल्ड्स संख्या कैलकुलेटर से जाँचें कि प्रवाह स्तरीय है या नहीं, और आयतन कन्वर्टर से लीटर, गैलन और घन मीटर के बीच बदलें। पाइप में प्रवाह दर और दाब हानि कैसे निकालें हाथ से हिसाब समझाता है।