Kontinuitas: yang masuk harus keluar
Zat cair hampir tidak bisa dimampatkan, jadi di pipa tanpa kebocoran volume yang sama harus melewati setiap penampang tiap detik. Debit adalah luas penampang dikali kecepatan rata-rata, sehingga
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, dengan A = π D² ÷ 4
Di tempat pipa menyempit, fluida bertambah cepat sebanding dengan perbandingan luas, yaitu kuadrat perbandingan diameter. Jika diameter dibagi dua, kecepatannya menjadi empat kali. Itulah sebabnya air menyembur lebih jauh saat kamu menutup ujung selang dengan ibu jari.
Persamaan Bernoulli
Mempercepat fluida butuh energi, dan dalam aliran tunak tanpa gesekan energi itu berasal dari tekanan. Daniel Bernoulli menunjukkan pada 1738 bahwa di sepanjang garis arus
P + ½ ρ v² + ρ g z = konstan
- P adalah tekanan, usaha yang dilakukan fluida di belakang saat mendorong fluida di depannya.
- ½ρv² adalah energi kinetik per satuan volume, kadang disebut tekanan dinamis.
- ρgz adalah energi potensial per satuan volume pada ketinggian z.
Jadi di tempat fluida bergerak lebih cepat, atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah. Ini adalah kekekalan energi yang ditulis per meter kubik fluida.
Contoh perhitungan
Air (ρ = 998 kg/m³) mengalir 10 L/s melalui pipa 10 cm yang menyempit menjadi 5 cm, lalu naik 1 m. Tekanan di ujung masuk 150 kPa di atas tekanan atmosfer.
- Luas: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
- Kecepatan: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
- Tekanan di penyempitan: ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa lebih rendah, jadi 137,9 kPa.
- Setelah tanjakan, kembali di pipa 10 cm: kecepatannya kembali 1,27 m/s, jadi satu-satunya perubahan dari ujung masuk adalah ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa, sisanya 140,2 kPa.
Tekanan pulih setelah penyempitan: tanpa gesekan tidak ada yang hilang, tekanan hanya diubah menjadi kecepatan lalu kembali lagi.
Venturimeter
Balik contoh tadi: ukur penurunan tekanan antara pipa dan penyempitan, maka kontinuitas dan Bernoulli bersama-sama memberi debitnya,
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
Dengan ΔP = 12,1 kPa hasilnya 10 L/s. Venturimeter mengukur debit di pipa air minum dan pipa industri tanpa bagian yang bergerak; alat sungguhan mengalikannya dengan koefisien buang sekitar 0,98 untuk memperhitungkan gesekan. Prinsip yang sama menjalankan karburator, penyemprot cat, dan masker Venturi yang mencampur oksigen dengan udara di rumah sakit.
Viskositas dan bilangan Reynolds
Fluida sungguhan bersifat viskos: menempel pada dinding, jadi kecepatannya nol di sana dan paling besar di tengah. Perilaku aliran bergantung pada bilangan Reynolds,
Re = ρ v D ÷ μ
dengan μ viskositas. Di bawah sekitar 2.300, aliran di pipa bersifat laminar: lapisan-lapisan halus saling bergeser, dengan profil kecepatan parabola yang bagian tengahnya bergerak dua kali kecepatan rata-rata. Di atas sekitar 4.000 alirannya turbulen: pusaran acak mengaduk fluida dan membuat profilnya lebih datar. Di antaranya, aliran berganti-ganti. Air dengan 1,27 m/s di pipa 10 cm punya Re = 127.000, jelas turbulen; madu (μ sekitar 10 Pa·s) dengan 0,3 m/s di pipa 2 cm punya Re sekitar 1.
Kehilangan akibat gesekan
Viskositas mengubah sebagian energi aliran menjadi panas, jadi P + ½ρv² + ρgz berkurang di sepanjang pipa. Persamaan Darcy-Weisbach memberi kehilangan tekanan sepanjang L:
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- Laminar: f = 64 ÷ Re, yang sama dengan hukum Hagen-Poiseuille, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). Kehilangannya naik dengan pangkat empat dari kesempitan: membagi dua jari-jari membutuhkan tekanan enam belas kali.
- Turbulen, pipa licin: f ≈ 0,316 Re−1/4 (Blasius). Untuk pipa air 10 cm, f = 0,017 dan kehilangannya sekitar 0,14 kPa per meter; di penyempitan 5 cm, sekitar 3,6 kPa per meter.
Madu dengan 0,1 L/s di pipa 2 cm kehilangan sekitar 255 kPa setiap meter, itulah sebabnya zat cair kental butuh pipa besar dan pompa kuat.
Memakai simulasi
Di Simulator Aliran Fluida dan Prinsip Bernoulli, atur debit, diameter, ketinggian, dan tekanan masuk, lalu baca kolom di atas penampang A, B, dan C. Hal yang bisa dicoba:
- Kecilkan diameter penyempitan dari 10 cm menjadi 5 cm: kecepatan di sana menjadi empat kali dan penurunan tekanannya enam belas kali.
- Buat ketinggian negatif: ujung keluar lebih rendah, dan tekanannya lebih tinggi daripada di ujung masuk.
- Persempit saluran menjadi 2 cm pada 10 L/s: tekanan di sana seharusnya turun di bawah tekanan uap air, dan simulasi memperingatkan kavitasi.
- Centang Sertakan gesekan dan ganti ke madu: profilnya menjadi parabola, Re sekitar 1, dan garis putus-putus energi total turun tajam.
Asumsi model
- Aliran tunak dan tak termampatkan. Debit tidak berubah terhadap waktu dan massa jenisnya tetap, bahkan untuk udara.
- Satu kecepatan per penampang. Persamaan Bernoulli diterapkan pada kecepatan rata-rata; profil kecepatan hanya mengubah cara titik-titik bergerak.
- Gesekan dari rumus pipa lurus, dijumlahkan di sepanjang pipa: 64 ÷ Re untuk aliran laminar, Blasius untuk aliran turbulen di pipa licin, dan garis lurus di antaranya dari Re 2.300 sampai 4.000.
- Tanpa kehilangan minor. Penyempitan dan pelebaran itu sendiri tidak menambah kehilangan.
- Sifat tetap pada sekitar 20 °C: air 998 kg/m³ dan 1,0 mPa·s, minyak zaitun 911 kg/m³ dan 81 mPa·s, gliserol 1.260 kg/m³ dan 1,41 Pa·s, madu 1.420 kg/m³ dan sekitar 10 Pa·s, udara 1,2 kg/m³ dan 18 µPa·s.
- Kolom yang dilebih-lebihkan. Tingginya menunjukkan selisih antartitik ukur yang diregangkan agar muat, jadi tidak berskala satu sama lain; labelnya memberi tekanan yang sebenarnya.
Kasus batas
- Penyempitan selebar pipa: tidak ada percepatan, tidak ada penurunan tekanan, dan rumus Venturi tidak punya apa pun untuk diukur.
- Penyempitan lebih lebar daripada pipa: fluida melambat dan tekanannya naik, prinsip sebuah difuser.
- Tekanan sangat rendah: jika tekanan mutlak turun di bawah tekanan uap (2,3 kPa untuk air pada 20 °C), zat cair mendidih menjadi gelembung yang pecah dengan keras di hilir. Kavitasi ini mengikis baling-baling kapal dan impeler pompa.
- Tekanan mutlak negatif mustahil untuk zat cair di dalam pipa; debit yang kamu minta tidak mungkin terjadi dengan tekanan masuk itu.
Di mana model tidak lagi berlaku
- Pelebaran mendadak kehilangan banyak energi menjadi pusaran: kehilangan Borda-Carnot, ½ρ(v₁ − v₂)², sekitar 7,3 kPa jika penyempitan pada contoh langsung terbuka ke pipa. Kerucut yang landai, seperti yang digambar, memulihkan sebagian besarnya, itulah sebabnya venturimeter punya bagian keluar yang panjang dan meruncing.
- Aliran termampatkan. Di atas kira-kira sepertiga kecepatan suara (sekitar 100 m/s di udara), gas termampatkan cukup berarti dan persamaan Bernoulli dalam bentuk ini meremehkan perubahan tekanan; mendekati Mach 1, aliran tersumbat.
- Pipa kasar dan bilangan Reynolds sangat tinggi. Blasius hanya berlaku sampai Re sekitar 100.000 di pipa licin; pipa sungguhan membutuhkan persamaan Colebrook atau diagram Moody dengan kekasaran dindingnya.
- Aliran tidak tunak. Menutup katup dengan cepat mengirim gelombang tekanan balik di pipa (palu air) yang jauh lebih besar daripada nilai tunak mana pun.
- Fluida non-Newton seperti darah, saus tomat, dan cat mengubah viskositasnya menurut seberapa cepat ia digeser, dan viskositas madu sangat bergantung pada suhu dan kadar airnya.
- Gaya angkat pada sayap. Persamaan Bernoulli menggambarkan tekanan yang lebih rendah di atas sayap, tetapi tidak menjelaskan sendirian mengapa udara di sana lebih cepat; penjelasan "waktu tempuh yang sama" itu keliru.
Kalkulator
Hitung debit, kecepatan, dan penurunan tekanan di pipa sungguhan dengan Kalkulator Aliran Pipa, periksa apakah sebuah aliran laminar dengan Kalkulator Bilangan Reynolds, dan ubah antara liter, galon, dan meter kubik dengan Konverter volume. Cara menghitung laju aliran dan penurunan tekanan dalam pipa membahas hitungannya dengan tangan.