La continuité : ce qui entre doit sortir
Un liquide se comprime à peine, donc dans un tube sans fuite le même volume doit traverser chaque section à chaque seconde. Le débit volumique est la section multipliée par la vitesse moyenne, d'où
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, avec A = π D² ÷ 4
Là où le tube se rétrécit, le fluide accélère dans le rapport des aires, c'est-à-dire le carré du rapport des diamètres. Divisez le diamètre par deux et la vitesse est multipliée par quatre. C'est pourquoi l'eau va plus loin quand vous mettez le pouce sur le bout d'un tuyau d'arrosage.
L'équation de Bernoulli
Accélérer le fluide demande de l'énergie, et dans un écoulement permanent sans frottement elle vient de la pression. Daniel Bernoulli a montré en 1738 que, le long d'une ligne de courant,
P + ½ ρ v² + ρ g z = constante
- P est la pression, le travail que fait le fluide de derrière en poussant celui de devant.
- ½ρv² est l'énergie cinétique par unité de volume, parfois appelée pression dynamique.
- ρgz est l'énergie potentielle par unité de volume à la hauteur z.
Là où le fluide va plus vite, ou plus haut, sa pression est donc plus faible. C'est la conservation de l'énergie écrite par mètre cube de fluide.
Un exemple chiffré
De l'eau (ρ = 998 kg/m³) circule à 10 L/s dans un tube de 10 cm qui se rétrécit à 5 cm, puis monte de 1 m. La pression à l'entrée est de 150 kPa au-dessus de la pression atmosphérique.
- Aires : A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
- Vitesses : v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
- Pression dans le rétrécissement : ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa de moins, soit 137,9 kPa.
- Après la montée, de retour dans le tube de 10 cm : la vitesse est de nouveau 1,27 m/s, donc le seul changement par rapport à l'entrée est ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa, et il reste 140,2 kPa.
La pression remonte après le rétrécissement : sans frottement rien n'est perdu, elle a seulement été convertie en vitesse puis reconvertie.
Le tube de Venturi
Retournez l'exemple : mesurez la chute de pression entre le tube et le rétrécissement, et la continuité et Bernoulli réunies donnent le débit,
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
Avec ΔP = 12,1 kPa, on retrouve 10 L/s. Les tubes de Venturi mesurent le débit dans les conduites d'eau et les tuyauteries industrielles sans aucune pièce mobile ; les vrais appareils multiplient par un coefficient de décharge d'environ 0,98 pour tenir compte du frottement. Le même principe fait fonctionner les carburateurs, les pistolets à peinture et les masques Venturi qui mélangent l'oxygène à l'air à l'hôpital.
La viscosité et le nombre de Reynolds
Les fluides réels sont visqueux : ils adhèrent à la paroi, la vitesse y est donc nulle et elle est maximale au centre. Le comportement de l'écoulement dépend du nombre de Reynolds,
Re = ρ v D ÷ μ
où μ est la viscosité. Sous environ 2 300, l'écoulement dans un tube est laminaire : des couches régulières glissent les unes sur les autres, avec un profil de vitesse parabolique dont le centre va deux fois plus vite que la moyenne. Au-dessus d'environ 4 000, il est turbulent : des tourbillons chaotiques mélangent le fluide et aplatissent le profil. Entre les deux, il bascule de l'un à l'autre. De l'eau à 1,27 m/s dans un tube de 10 cm a Re = 127 000, nettement turbulent ; du miel (μ d'environ 10 Pa·s) à 0,3 m/s dans un tube de 2 cm a un Re d'environ 1.
Les pertes par frottement
La viscosité transforme une partie de l'énergie de l'écoulement en chaleur, donc P + ½ρv² + ρgz diminue le long du tube. L'équation de Darcy-Weisbach donne la perte sur une longueur L :
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- Laminaire : f = 64 ÷ Re, ce qui est la loi de Hagen-Poiseuille, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). La perte croît comme la puissance quatre de l'étroitesse : diviser le rayon par deux demande seize fois plus de pression.
- Turbulent, tube lisse : f ≈ 0,316 Re−1/4 (Blasius). Pour le tube d'eau de 10 cm, f = 0,017 et la perte est d'environ 0,14 kPa par mètre ; dans le rétrécissement de 5 cm, environ 3,6 kPa par mètre.
Du miel à 0,1 L/s dans un tube de 2 cm perd environ 255 kPa par mètre, c'est pourquoi les liquides épais demandent de gros tuyaux et des pompes puissantes.
Utiliser la simulation
Dans le Simulateur d'écoulement et du principe de Bernoulli, réglez le débit, les diamètres, la hauteur et la pression d'entrée, et lisez les colonnes au-dessus des sections A, B et C. À essayer :
- Réduisez le diamètre du rétrécissement de 10 cm à 5 cm : la vitesse y est multipliée par quatre et la chute par seize.
- Mettez une hauteur négative : la sortie est plus basse, et sa pression est plus forte qu'à l'entrée.
- Rétrécissez le passage à 2 cm à 10 L/s : la pression devrait y descendre sous la pression de vapeur de l'eau, et la simulation signale la cavitation.
- Cochez Inclure le frottement et passez au miel : le profil devient une parabole, Re vaut environ 1 et la ligne pointillée de l'énergie totale chute fortement.
Ce que le modèle suppose
- Un écoulement permanent et incompressible. Le débit ne change pas dans le temps et la masse volumique est constante, même pour l'air.
- Une seule vitesse par section. L'équation de Bernoulli est appliquée à la vitesse moyenne ; le profil de vitesse ne change que le mouvement des points.
- Un frottement calculé avec les formules du tube droit, intégrées le long du tube : 64 ÷ Re en laminaire, Blasius en turbulent dans un tube lisse, et une droite entre les deux de Re 2 300 à 4 000.
- Pas de pertes singulières. Le rétrécissement et l'élargissement eux-mêmes ne perdent rien de plus.
- Des propriétés fixes à environ 20 °C : eau 998 kg/m³ et 1,0 mPa·s, huile d'olive 911 kg/m³ et 81 mPa·s, glycérol 1 260 kg/m³ et 1,41 Pa·s, miel 1 420 kg/m³ et environ 10 Pa·s, air 1,2 kg/m³ et 18 µPa·s.
- Des colonnes qui exagèrent. Les hauteurs montrent les écarts entre les prises de pression étirés pour tenir à l'écran, elles ne sont donc pas à l'échelle entre elles ; les étiquettes donnent les vraies pressions.
Cas limites
- Rétrécissement aussi large que le tube : pas d'accélération, pas de chute, et la formule du Venturi n'a rien à mesurer.
- Rétrécissement plus large que le tube : le fluide ralentit et la pression monte, le principe d'un diffuseur.
- Pression très basse : si la pression absolue descendait sous la pression de vapeur (2,3 kPa pour l'eau à 20 °C), le liquide bouillirait en bulles qui implosent violemment en aval. Cette cavitation ronge les hélices de bateau et les roues de pompe.
- Une pression absolue négative est impossible pour un liquide dans un tube ; le débit demandé ne peut pas exister avec cette pression d'entrée.
Où le modèle cesse d'être juste
- Les élargissements brusques perdent beaucoup d'énergie en tourbillons : la perte de Borda-Carnot, ½ρ(v₁ − v₂)², vaut environ 7,3 kPa si le rétrécissement de l'exemple s'ouvre d'un coup sur le tube. Les cônes doux, comme celui qui est dessiné, en récupèrent l'essentiel, c'est pourquoi les tubes de Venturi ont de longues sorties évasées.
- L'écoulement compressible. Au-delà d'environ un tiers de la vitesse du son (à peu près 100 m/s dans l'air), les gaz se compriment nettement et l'équation de Bernoulli sous cette forme sous-estime les variations de pression ; près de Mach 1, l'écoulement est bloqué.
- Les tubes rugueux et les très grands nombres de Reynolds. Blasius ne vaut que jusqu'à Re d'environ 100 000 dans un tube lisse ; les vraies conduites demandent l'équation de Colebrook ou un diagramme de Moody avec la rugosité de la paroi.
- L'écoulement non permanent. Fermer une vanne brusquement renvoie dans le tube une onde de pression (coup de bélier) bien plus forte que n'importe quelle valeur en régime permanent.
- Les fluides non newtoniens, comme le sang, le ketchup et la peinture, changent de viscosité selon la vitesse à laquelle on les cisaille, et la viscosité du miel dépend fortement de sa température et de sa teneur en eau.
- La portance des ailes. L'équation de Bernoulli décrit la pression plus faible au-dessus d'une aile, mais n'explique pas à elle seule pourquoi l'air y va plus vite ; l'explication du « temps de parcours égal » est fausse.
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