연속 방정식: 들어간 만큼 나온다
액체는 거의 압축되지 않으므로, 새는 곳이 없는 관에서는 매초 같은 부피가 모든 단면을 지나야 합니다. 부피 유량은 단면적과 평균 유속의 곱이므로
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, 여기서 A = π D² ÷ 4
관이 좁아지는 곳에서 유체는 넓이의 비, 즉 지름 비의 제곱만큼 빨라집니다. 지름을 절반으로 줄이면 유속은 4배가 됩니다. 정원 호스 끝을 엄지로 막으면 물이 더 멀리 나가는 것도 이 때문입니다.
베르누이 방정식
유체를 빠르게 하려면 에너지가 필요하고, 마찰 없는 정상 흐름에서는 그 에너지가 압력에서 옵니다. 다니엘 베르누이는 1738년에 유선을 따라 다음이 성립함을 보였습니다.
P + ½ ρ v² + ρ g z = 일정
- P는 압력으로, 뒤의 유체가 앞의 유체를 밀 때 하는 일입니다.
- ½ρv²는 단위 부피당 운동 에너지로, 동압이라고도 합니다.
- ρgz는 높이 z에서 단위 부피당 위치 에너지입니다.
그래서 유체가 더 빠르거나 더 높은 곳에서는 압력이 낮습니다. 유체 1세제곱미터당으로 쓴 에너지 보존 법칙입니다.
계산 예
물(ρ = 998 kg/m³)이 10 L/s로 지름 10 cm 관을 흐르다가 지름 5 cm로 좁아진 뒤 1 m 올라갑니다. 입구 압력은 대기압보다 150 kPa 높습니다.
- 넓이: A₁ = π × 0.1² ÷ 4 = 0.00785 m², A₂ = 0.00196 m².
- 유속: v₁ = 0.010 ÷ 0.00785 = 1.27 m/s, v₂ = 0.010 ÷ 0.00196 = 5.09 m/s.
- 좁은 부분의 압력: ½ × 998 × (5.09² − 1.27²) = 12.1 kPa 낮으므로 137.9 kPa.
- 오르막을 지나 다시 10 cm 관으로 돌아오면 유속은 다시 1.27 m/s이므로, 입구와 달라지는 것은 ρgh = 998 × 9.81 × 1 = 9.8 kPa뿐이고 140.2 kPa가 남습니다.
좁은 부분을 지나면 압력은 회복됩니다. 마찰이 없으면 잃는 것은 없고, 압력이 잠시 속력으로 바뀌었다가 되돌아왔을 뿐입니다.
벤투리관
예를 거꾸로 생각해 봅시다. 관과 좁은 부분 사이의 압력 강하를 재면, 연속 방정식과 베르누이 방정식으로 유량을 구할 수 있습니다.
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
ΔP = 12.1 kPa를 넣으면 10 L/s가 나옵니다. 벤투리관은 움직이는 부품 없이 상수도 본관과 공장 배관의 유량을 잽니다. 실제 유량계는 마찰을 보정하기 위해 약 0.98의 유출 계수를 곱합니다. 같은 원리가 기화기, 페인트 분무기, 병원에서 산소를 공기와 섞는 벤투리 마스크에도 쓰입니다.
점성과 레이놀즈 수
실제 유체는 점성이 있어 벽에 달라붙으므로, 벽에서는 유속이 0이고 가운데에서 가장 큽니다. 흐름의 양상은 레이놀즈 수에 따라 달라집니다.
Re = ρ v D ÷ μ
μ는 점성 계수입니다. 관 속 흐름은 약 2,300 아래에서 층류로, 매끈한 층이 서로 미끄러지며 유속 분포는 포물선이고 중심은 평균의 두 배로 움직입니다. 약 4,000 위에서는 난류로, 불규칙한 소용돌이가 유체를 섞어 분포가 평평해집니다. 그 사이에서는 둘을 오갑니다. 지름 10 cm 관을 1.27 m/s로 흐르는 물은 Re = 127,000으로 분명한 난류이고, 지름 2 cm 관을 0.3 m/s로 흐르는 꿀(μ 약 10 Pa·s)은 Re가 약 1입니다.
마찰 손실
점성은 흐름의 에너지 일부를 열로 바꾸므로 P + ½ρv² + ρgz는 관을 따라 줄어듭니다. 길이 L에서의 손실은 다르시-바이스바흐 식으로 구합니다.
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- 층류: f = 64 ÷ Re이고, 이는 하겐-푸아죄유 법칙 ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴)과 같습니다. 손실은 좁은 정도의 네제곱으로 커져서, 반지름을 절반으로 줄이면 16배의 압력이 필요합니다.
- 난류, 매끈한 관: f ≈ 0.316 Re−1/4(블라시우스). 지름 10 cm 물 관에서는 f = 0.017이고 손실은 1 m당 약 0.14 kPa, 지름 5 cm 좁은 부분에서는 1 m당 약 3.6 kPa입니다.
지름 2 cm 관을 0.1 L/s로 흐르는 꿀은 1 m마다 약 255 kPa를 잃습니다. 진한 액체에 굵은 관과 강한 펌프가 필요한 이유입니다.
시뮬레이션 사용법
유체 흐름과 베르누이 원리 시뮬레이터에서 유량, 지름, 높이, 입구 압력을 정하고 단면 A, B, C 위의 기둥을 읽습니다. 해 볼 만한 것:
- 좁은 부분의 지름을 10 cm에서 5 cm로 줄이기: 그곳의 유속은 4배, 압력 강하는 16배가 됩니다.
- 높이를 음수로 하기: 출구가 낮아지고, 그 압력은 입구보다 높아집니다.
- 10 L/s에서 좁은 부분을 2 cm로 줄이기: 그곳의 압력이 물의 증기압 아래로 떨어져야 하므로 시뮬레이션이 공동 현상을 경고합니다.
- 마찰 포함을 체크하고 꿀로 바꾸기: 분포가 포물선이 되고 Re는 약 1이며, 전체 에너지의 점선이 가파르게 떨어집니다.
모형의 가정
- 정상 상태의 비압축성 흐름. 유량은 시간에 따라 변하지 않고, 밀도는 공기라도 일정합니다.
- 단면마다 하나의 유속. 베르누이 방정식은 평균 유속에 적용하고, 유속 분포는 점이 움직이는 모습만 바꿉니다.
- 곧은 관의 식으로 구한 마찰을 관을 따라 더합니다. 층류는 64 ÷ Re, 매끈한 관의 난류는 블라시우스 식이며, Re 2,300에서 4,000 사이는 둘을 직선으로 잇습니다.
- 국부 손실 없음. 좁아지거나 넓어지는 부분 자체는 추가 손실을 일으키지 않습니다.
- 약 20 °C에서의 고정된 물성: 물 998 kg/m³와 1.0 mPa·s, 올리브유 911 kg/m³와 81 mPa·s, 글리세롤 1,260 kg/m³와 1.41 Pa·s, 꿀 1,420 kg/m³와 약 10 Pa·s, 공기 1.2 kg/m³와 18 µPa·s.
- 과장된 기둥. 기둥 높이는 측정 지점 사이의 차이를 화면에 맞게 늘린 것이라 서로 축척이 맞지 않습니다. 라벨이 실제 압력을 알려 줍니다.
경계 사례
- 좁은 부분이 관과 같은 굵기: 가속도 압력 강하도 없고, 벤투리 식으로 잴 것이 없습니다.
- 좁은 부분이 관보다 굵음: 유체가 느려지고 압력이 올라갑니다. 디퓨저의 원리입니다.
- 매우 낮은 압력: 절대 압력이 증기압(20 °C 물에서 2.3 kPa) 아래로 떨어지면 액체가 끓어 기포가 생기고, 이 기포가 하류에서 격렬하게 터집니다. 이 공동 현상은 배의 프로펠러와 펌프 임펠러를 갉아 먹습니다.
- 음의 절대 압력은 관 속 액체에서는 불가능합니다. 그 입구 압력으로는 요청한 유량이 생길 수 없습니다.
모형이 맞지 않게 되는 경우
- 갑작스러운 확대에서는 소용돌이로 많은 에너지를 잃습니다. 예의 좁은 부분이 갑자기 관으로 열리면 보르다-카르노 손실 ½ρ(v₁ − v₂)²은 약 7.3 kPa입니다. 그림처럼 완만한 원뿔은 대부분을 회복하므로, 벤투리관의 출구는 길고 서서히 넓어집니다.
- 압축성 흐름. 음속의 약 3분의 1(공기에서 약 100 m/s)을 넘으면 기체가 눈에 띄게 압축되어, 이 형태의 베르누이 방정식은 압력 변화를 작게 어림합니다. 마하 1 가까이에서는 흐름이 막힙니다.
- 거친 관과 매우 큰 레이놀즈 수. 블라시우스 식은 매끈한 관에서 Re 약 100,000까지만 맞습니다. 실제 관에는 벽의 거칠기를 넣은 콜브룩 식이나 무디 선도가 필요합니다.
- 비정상 흐름. 밸브를 갑자기 잠그면 압력파가 관을 거슬러 올라가며(수격 현상), 어떤 정상 상태 값보다도 훨씬 큽니다.
- 비뉴턴 유체인 피, 케첩, 페인트는 전단 속도에 따라 점성이 바뀌고, 꿀의 점성도 온도와 수분에 크게 좌우됩니다.
- 날개의 양력. 베르누이 방정식은 날개 위의 압력이 낮다는 것을 나타내지만, 그곳의 공기가 왜 더 빠른지를 혼자 설명하지는 않습니다. "같은 시간에 도착한다"는 설명은 틀렸습니다.
계산기
실제 배관의 유량, 유속, 압력 강하는 배관 유동 계산기로 구하고, 흐름이 층류인지는 레이놀즈 수 계산기로 확인하며, 리터, 갤런, 세제곱미터 사이는 부피 변환기로 바꾸세요. 배관의 유량과 압력 손실 계산하는 법에서 손으로 계산하는 방법을 설명합니다.