전자기 유도의 원리: 패러데이 법칙, 렌츠 법칙, 발전기와 변압기

자기 선속

고리를 지나는 자기 선속은 고리를 통과하는 자기장의 양을 나타냅니다. 넓이 A인 평평한 고리에 수직인 균일한 자기장 B라면 Φ = B A이고, 단위는 웨버(테슬라 × 제곱미터)입니다. 고리가 각 θ만큼 기울어져 있으면 축 방향 성분만 셈하므로 Φ = B A cos θ입니다. N번 감은 코일은 한 번 감은 것의 N배 선속과 쇄교합니다.

패러데이 법칙

1831년 마이클 패러데이는 코일을 지나는 선속이 변할 때, 그리고 그때에만 코일에 전류가 흐른다는 것을 발견했습니다. 기전력(변하는 선속이 회로에 흘리려는 전압)은

ε = −N dΦ ÷ dt

선속은 자석이 움직이거나, 코일이 움직이거나 돌거나, 자기장 세기가 바뀌거나, 코일 모양이 바뀔 때 변합니다. 코일 안에 멈춰 있는 자석은 아무리 강해도 아무것도 유도하지 않습니다. 속력을 두 배로 하면 기전력이 두 배가 되고, 감은 수를 두 배로 하면 다시 두 배가 됩니다.

렌츠 법칙: 음의 부호

유도 전류는 언제나 자신이 만드는 자기장이 선속의 변화를 방해하는 방향으로 흐릅니다. N극을 코일에 밀어 넣으면 코일의 가까운 끝도 N극이 되어 자석을 밀어내고, 빼내면 그 끝이 S극이 되어 자석을 끌어당깁니다. 이 힘에 맞서 밀어야 하며, 그때 하는 일이 회로에 나타나는 전기 에너지입니다. 만약 유도 전류가 변화를 돕는 방향이라면 자석이 저절로 코일로 빨려 들어가며 빨라지고, 에너지가 무에서 생겨날 것입니다.

계산 예: 자석과 코일

쌍극자 모멘트 1 A·m²인 네오디뮴 자석이 반지름 2 cm, 200번 감은 코일의 축을 따라 1 m/s로 지나갑니다.

1. 반지름 a인 고리의 축 위 거리 d에 있는 작은 자석의 선속은 Φ = μ₀ m a² ÷ (2 (a² + d²)^3/2)입니다. 중심(d = 0)에서는 μ₀ m ÷ 2a = 1.26 × 10⁻⁶ ÷ 0.04 = 3.1 × 10⁻⁵ Wb입니다.
2. 선속은 코일에서 d = a ÷ 2 = 1 cm인 곳에서 가장 빨리 변하며, 그 비율은 이동 1 m당 0.43 μ₀ m ÷ a² = 1.35 × 10⁻³ Wb입니다.
3. 1 m/s에서 ε = 200 × 1.35 × 10⁻³ × 1 = 0.27 V가 최댓값이며, 들어올 때는 양, 나갈 때는 음입니다. 자석이 중심을 지나는 순간에는 0인데, 그곳에서 선속은 최대이지만 잠시 변하지 않기 때문입니다.
4. 코일 도선이 4 Ω이고 부하가 10 Ω이면 최대 전류는 0.27 ÷ 14 = 19 mA입니다.

발전기

감은 수 N, 넓이 A인 코일을 균일한 자기장 B 속에서 각속도 ω로 돌립니다. 코일을 지나는 선속은 N B A cos ωt이므로

ε = N B A ω sin ωt, 최댓값 ε₀ = N B A ω, 실횻값 = ε₀ ÷ √2

출력은 한 바퀴에 두 번 방향이 바뀌는 사인파, 즉 교류입니다. 예: 0.2 T 속에서 넓이 100 cm², 200번 감은 코일을 1초에 50번(ω = 314 rad/s) 돌리면 최댓값은 200 × 0.2 × 0.01 × 314 = 126 V, 실횻값은 89 V입니다. 기전력은 코일 면이 자기장과 나란할 때 가장 큰데, 이때 코일을 지나는 선속은 0이지만 가장 빨리 변합니다. 발전소의 발전기도 같은 원리로, 보통 고정된 코일 안에서 자석을 돌리며 50 Hz면 분당 3,000번, 60 Hz면 3,600번 회전합니다.

변압기

변압기는 공통 철심에 코일 두 개를 감은 것입니다. 1차 코일의 교류가 철심에 변하는 선속을 만들고, 이 선속이 2차 코일을 지나며 전압을 유도합니다. 두 코일의 모든 감은 한 바퀴가 같은 선속 변화를 겪으므로, 한 바퀴당 전압이 같습니다.

V_s ÷ V_p = N_s ÷ N_p, 이상 변압기에서는 V_p I_p = V_s I_s

옛날식 전원 어댑터의 변압기는 1차 1,150번, 2차 60번 감아 230 V를 12 V로 낮출 수 있습니다. 송전선은 그 반대로 합니다. 전압을 10배 올리면 전류는 10분의 1, 전선의 I²R 발열은 100분의 1이 되므로, 전기는 수백 킬로볼트로 먼 거리를 보냅니다.

시뮬레이션 사용법

전자기 유도 시뮬레이터에서 해 볼 만한 것:

• 손으로를 고르고 위치 슬라이더를 천천히, 그다음 빨리 움직이기: 빨리 움직일수록 바늘이 크게 기울고, 멈추면 0으로 돌아옵니다.
• 자석이 들어오고 나갈 때 코일 위의 글자 보기: 코일의 가까운 끝은 다가오는 극과 늘 같은 극이 되고, 멀어지는 극은 붙잡습니다.
• 자석 뒤집기: 모든 전류가 반대가 됩니다.
• 발전기에서 진동수를 두 배로 하기: 선속이 두 배 빨리 변하므로 최대 전압도 두 배가 됩니다.
• 변압기에서 감은 수를 바꿔 강압으로 한 뒤 변압기에 직류 넣기를 체크하기: 2차 코일에서 아무것도 나오지 않습니다.

모형의 가정

• 점 쌍극자 자석. 자기장은 중심에 있는 이상적인 쌍극자의 것으로, 코일에서 멀리 떨어져 있으면 정확하지만 자석이 코일 안에 있을 때는 대략적인 근사입니다.
• 짧은 코일. 선속은 반지름 2 cm 코일의 4 cm 길이에 걸친 아홉 바퀴로 평균하며, 코일의 저항은 한 바퀴당 0.02 Ω입니다.
• 자체 유도 없음. 전류는 기전력을 즉시 따르고, 전류 자신의 자기장이 전류에 되먹임하거나 자석을 늦추지 않습니다.
• 발전기 극 사이의 균일한 자기장과 완벽하게 일정한 속력으로 도는 코일.
• 이상 변압기: 권선 저항 없음, 철심 손실 없음, 모든 선속이 두 코일을 지나며, 여자 전류도 없습니다.
• 느린 동작. 발전기는 초당 한 바퀴 이하로, 변압기 선속은 초당 반 주기로 그립니다. 숫자는 실제 진동수 기준입니다.

경계 사례

• 멈춘 자석: 선속이 가장 큰 코일 중심을 포함해 어디서나 기전력은 0입니다.
• 중심에서 움직이는 자석: 그곳에서 선속은 최대이고 잠시 변하지 않으므로 기전력이 0을 지납니다.
• 변압기의 감은 수가 같음: V_s = V_p가 되어 한 회로를 다른 회로와 절연하는 역할만 하며, 이는 안전에 쓸모가 있습니다.
• 변압기에 직류: 출력이 없고, 1차 전류는 도선만으로 제한됩니다.

모형이 맞지 않게 되는 경우

• 역기전력과 제동. 큰 유도 전류는 실제로 자석을 밀어내어 느리게 합니다. 강한 자석을 구리관에 떨어뜨리면 자신이 유도한 맴돌이 전류 때문에 천천히 떨어집니다. 이 시뮬레이션은 정한 속력 그대로 자석을 움직입니다.
• 인덕턴스. 실제 코일은 자기 전류의 변화에 저항하므로, 감은 수가 많고 부하가 작으면 전류가 늦어지고 ε ÷ R보다 작아집니다. 특히 진동수가 높을 때 그렇습니다.
• 실제 변압기는 권선 저항과 철심의 히스테리시스·맴돌이 전류로 전력의 1~5%를 잃습니다. 철심을 얇은 판으로 겹쳐 만드는 이유입니다. 부하를 걸면 출력 전압이 떨어지고, 너무 세게 또는 너무 낮은 진동수로 구동하면 철심이 포화합니다.
• 변하는 전기장과 복사. 진동수가 높아지면 변하는 장이 전자기파로 퍼져 나가고, 고리를 한 바퀴 도는 하나의 기전력 같은 회로 개념이 더는 맞지 않습니다.

관련 도구

부하의 전류와 전력은 옴의 법칙 계산기로 구하세요. 전자기학의 나머지 절반인, 움직이는 전하에 자기장이 주는 힘은 자기장 속 하전 입자 시뮬레이터에서 보고, 부하를 연결한 회로는 직렬·병렬 회로 시뮬레이터에서 꾸며 보세요.