So funktioniert elektromagnetische Induktion: Faradaysches Gesetz, Lenzsche Regel, Generatoren und Transformatoren

Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife misst, wie viel Magnetfeld durch sie hindurchgeht: Für ein homogenes Feld B senkrecht zu einer ebenen Schleife der Fläche A ist Φ = B A, in Weber (Tesla mal Quadratmeter). Ist die Schleife um einen Winkel θ gekippt, zählt nur der Teil des Feldes entlang ihrer Achse: Φ = B A cos θ. Eine Spule mit N Windungen umfasst N-mal den Fluss einer Windung.

Das faradaysche Gesetz

1831 fand Michael Faraday, dass in einer Spule immer dann ein Strom fließt, wenn sich der Fluss durch sie ändert, und nur dann. Die induzierte Spannung (die Spannung, die der sich ändernde Fluss durch den Stromkreis treibt) ist

ε = −N dΦ ÷ dt

Der Fluss kann sich ändern, weil sich der Magnet bewegt, die Spule sich bewegt oder dreht, die Feldstärke sich ändert oder die Spule ihre Form ändert. Ein Magnet, der still in einer Spule liegt, induziert nichts, egal wie stark er ist. Doppelte Geschwindigkeit verdoppelt die Spannung; doppelt so viele Windungen verdoppeln sie noch einmal.

Die lenzsche Regel: das Minuszeichen

Der induzierte Strom fließt immer so, dass sein eigenes Magnetfeld der Flussänderung entgegenwirkt. Schiebst du einen Nordpol in eine Spule, wird das nahe Ende der Spule ebenfalls zum Nordpol und stößt den Magneten ab; ziehst du ihn heraus, wird dieses Ende zum Südpol und zieht ihn zurück. Du musst gegen diese Kraft schieben, und die Arbeit, die du dabei verrichtest, ist die elektrische Energie, die im Stromkreis auftaucht. Würde der induzierte Strom die Änderung stattdessen unterstützen, würde ein Magnet von selbst in eine Spule hineinbeschleunigen und Energie käme aus dem Nichts.

Ein Rechenbeispiel: ein Magnet und eine Spule

Ein Neodym-Magnet mit einem Dipolmoment von 1 A·m² fliegt mit 1 m/s entlang der Achse einer Spule mit 200 Windungen und 2 cm Radius.

1. Der Fluss eines kleinen Magneten durch eine Schleife mit Radius a im Abstand d auf ihrer Achse ist Φ = μ₀ m a² ÷ (2 (a² + d²)^3/2). In der Mitte (d = 0) ist das μ₀ m ÷ 2a = 1,26 × 10⁻⁶ ÷ 0,04 = 3,1 × 10⁻⁵ Wb.
2. Am schnellsten ändert sich der Fluss bei d = a ÷ 2 = 1 cm von der Spule, mit 0,43 μ₀ m ÷ a² = 1,35 × 10⁻³ Wb pro Meter Weg.
3. Bei 1 m/s: ε = 200 × 1,35 × 10⁻³ × 1 = 0,27 V im Maximum, positiv beim Hineinfliegen und negativ beim Herausfliegen, und null, wenn der Magnet die Mitte passiert, wo der Fluss am größten ist, sich aber für einen Moment nicht ändert.
4. Mit 4 Ω Spulendraht und einer Last von 10 Ω ist der Spitzenstrom 0,27 ÷ 14 = 19 mA.

Generatoren

Dreh eine Spule mit N Windungen und der Fläche A mit der Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Feld B. Der Fluss durch sie ist N B A cos ωt, also

ε = N B A ω sin ωt, Scheitelwert ε₀ = N B A ω, Effektivwert = ε₀ ÷ √2

Heraus kommt eine Sinuswelle, die sich bei jeder Umdrehung zweimal umkehrt: Wechselstrom. Beispiel: 200 Windungen mit 100 cm² in 0,2 T, die sich 50-mal pro Sekunde drehen (ω = 314 rad/s), ergeben einen Scheitelwert von 200 × 0,2 × 0,01 × 314 = 126 V, also eine Effektivspannung von 89 V. Am größten ist die Spannung, wenn die Spulenebene parallel zum Feld steht, wo der Fluss durch sie null ist, sich aber am schnellsten ändert. Kraftwerksgeneratoren arbeiten genauso, meist mit einem Magneten, der sich in festen Spulen dreht, mit 3.000 oder 3.600 Umdrehungen pro Minute für 50 oder 60 Hz.

Transformatoren

Ein Transformator hat zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern. Wechselstrom in der Primärspule erzeugt einen sich ändernden Fluss im Kern, der durch die Sekundärspule geht und dort eine Spannung induziert. Jede Windung beider Spulen sieht dieselbe Flussänderung, also ist die Spannung pro Windung gleich:

V_s ÷ V_p = N_s ÷ N_p, und für einen idealen Transformator V_p I_p = V_s I_s

Der Transformator eines alten Steckernetzteils setzt 230 V vielleicht mit 1.150 Windungen auf der Primär- und 60 auf der Sekundärseite auf 12 V herunter. Stromleitungen machen das Gegenteil: Die Spannung zehnmal hochzusetzen senkt den Strom auf ein Zehntel und die I²R-Erwärmung der Leitungen auf ein Hundertstel. Darum wird Strom über weite Strecken mit Hunderten Kilovolt übertragen.

Die Simulation benutzen

Im Simulator für elektromagnetische Induktion kannst du ausprobieren:

• Wähle Von Hand und bewege den Positionsregler langsam, dann schnell: Der Zeiger schlägt umso weiter aus, je schneller du bist, und geht auf null zurück, wenn du anhältst.
• Achte auf die Buchstaben über der Spule, während der Magnet hinein- und hinausgeht: Das nahe Ende der Spule gleicht immer dem herankommenden Pol und wirkt dem sich entfernenden entgegen.
• Dreh den Magneten um: Jeder Strom kehrt sich um.
• Verdopple beim Generator die Frequenz: Auch die Scheitelspannung verdoppelt sich, weil sich der Fluss doppelt so schnell ändert.
• Tausche beim Transformator die Windungszahlen, um herunterzusetzen, und hake dann Den Transformator mit Gleichstrom speisen an: Die Sekundärspule liefert nichts.

Was das Modell annimmt

• Ein punktförmiger Dipolmagnet. Sein Feld ist das eines idealen Dipols in seiner Mitte; das ist weit weg von der Spule genau, aber grob, wenn der Magnet in ihr steckt.
• Eine kurze Spule. Der Fluss wird über neun Windungen gemittelt, die über 4 cm einer Spule mit 2 cm Radius verteilt sind, und der Widerstand der Spule beträgt 0,02 Ω pro Windung.
• Keine Selbstinduktion. Der Strom folgt der Spannung sofort, und das eigene Feld des Stroms wirkt nicht auf ihn zurück und bremst den Magneten nicht.
• Ein homogenes Feld zwischen den Polen des Generators und eine Spule, die sich vollkommen gleichmäßig dreht.
• Ein idealer Transformator: kein Widerstand in den Wicklungen, keine Verluste im Kern, der ganze Fluss geht durch beide Spulen, und es gibt keinen Magnetisierungsstrom.
• Zeitlupe. Der Generator wird mit höchstens einer Umdrehung pro Sekunde gezeichnet und der Fluss im Transformator mit einer halben Periode pro Sekunde; die Zahlen gelten für die echte Frequenz.

Grenzfälle

• Magnet in Ruhe: überall null Spannung, selbst in der Mitte der Spule, wo der Fluss am größten ist.
• Magnet in der Mitte, in Bewegung: Die Spannung geht dort durch null, weil der Fluss sein Maximum hat und sich für einen Moment nicht ändert.
• Gleiche Windungszahlen am Transformator: V_s = V_p; er trennt dann nur einen Stromkreis vom anderen, was der Sicherheit dient.
• Gleichstrom im Transformator: keine Ausgangsspannung, und ein Primärstrom, den nur der Draht begrenzt.

Wo das Modell nicht mehr stimmt

• Gegenspannung und Bremswirkung. Ein großer induzierter Strom drückt tatsächlich auf den Magneten zurück und bremst ihn; lässt du einen starken Magneten durch ein Kupferrohr fallen, sinkt er wegen der Wirbelströme, die er induziert, nur langsam. Die Simulation bewegt den Magneten mit der Geschwindigkeit, die du einstellst.
• Induktivität. Eine echte Spule wehrt sich gegen Änderungen ihres eigenen Stroms; bei vielen Windungen und kleiner Last hinkt der Strom hinterher und ist kleiner als ε ÷ R, besonders bei hoher Frequenz.
• Echte Transformatoren verlieren 1 bis 5 % der Leistung durch den Widerstand der Wicklungen sowie durch Hysterese und Wirbelströme im Kern, darum ist der Kern geblecht. Ihre Ausgangsspannung sinkt unter Last, und ein Eisenkern geht in die Sättigung, wenn er zu stark oder mit zu niedriger Frequenz angesteuert wird.
• Sich ändernde elektrische Felder und Strahlung. Bei hohen Frequenzen breiten sich die wechselnden Felder als elektromagnetische Wellen aus, und Schaltungsbegriffe wie eine einzige Spannung entlang einer Schleife gelten nicht mehr.

Passende Tools

Berechne Strom und Leistung in der Last mit dem Rechner für das Ohmsche Gesetz, sieh dir im Simulator für geladene Teilchen im Magnetfeld die Kraft an, die ein Magnetfeld auf eine bewegte Ladung ausübt, die andere Hälfte des Elektromagnetismus, und schließ die Last im Simulator für Reihen- und Parallelschaltungen an.