電磁誘導のしくみ: ファラデーの法則、レンツの法則、交流発電機と変圧器

磁束

ループを貫く磁束は、そこを通る磁場の量を表します。面積 A の平らなループに垂直な一様磁場 B なら Φ = B A で、単位はウェーバ (テスラ × 平方メートル) です。ループが角度 θ だけ傾いていれば、軸方向の磁場の成分だけが数えられ、Φ = B A cos θ となります。N 回巻きのコイルは 1 巻きの N 倍の磁束と鎖交します。

ファラデーの法則

1831 年、マイケル・ファラデーは、コイルを貫く磁束が変化するときに限って電流が流れることを発見しました。起電力 (変化する磁束が回路に流そうとする電圧) は

ε = −N dΦ ÷ dt

磁束は、磁石が動く、コイルが動くか回る、磁場の強さが変わる、コイルの形が変わる、といった理由で変化します。コイルの中で止まっている磁石は、どれほど強くても何も誘導しません。速さを 2 倍にすると起電力は 2 倍に、巻き数を 2 倍にするとさらに 2 倍になります。

レンツの法則: マイナス符号

誘導電流は、自分のつくる磁場が磁束の変化を妨げる向きに必ず流れます。N 極をコイルに押し込むと、コイルの近い側の端も N 極になって磁石を押し返し、引き抜くとその端が S 極になって磁石を引き戻します。この力に逆らって押す必要があり、そのときにする仕事が回路に現れる電気エネルギーです。もし誘導電流が変化を助ける向きだったら、磁石はひとりでにコイルへ加速し、エネルギーが無から生まれてしまいます。

計算例: 磁石とコイル

双極子モーメント 1 A·m² のネオジム磁石が、半径 2 cm、200 回巻きのコイルの軸上を 1 m/s で通過します。

半径 a のループの軸上、距離 d にある小さな磁石がつくる磁束は Φ = μ₀ m a² ÷ (2 (a² + d²)^3/2) です。中心 (d = 0) では μ₀ m ÷ 2a = 1.26 × 10⁻⁶ ÷ 0.04 = 3.1 × 10⁻⁵ Wb です。
磁束が最も速く変わるのはコイルから d = a ÷ 2 = 1 cm の所で、移動 1 m あたり 0.43 μ₀ m ÷ a² = 1.35 × 10⁻³ Wb の割合です。
1 m/s では ε = 200 × 1.35 × 10⁻³ × 1 = 0.27 V が最大値で、入るときは正、出るときは負です。磁石が中心を通る瞬間は 0 になります。そこでは磁束が最大ですが、一瞬変化していないからです。
コイルの導線が 4 Ω、負荷が 10 Ω なら、電流の最大値は 0.27 ÷ 14 = 19 mA です。

発電機

巻き数 N、面積 A のコイルを一様磁場 B の中で角速度 ω で回します。コイルを貫く磁束は N B A cos ωt なので

ε = N B A ω sin ωt、最大値 ε₀ = N B A ω、実効値 = ε₀ ÷ √2

出力は 1 回転に 2 回向きが変わる正弦波、つまり交流です。例: 0.2 T の中で面積 100 cm²、200 回巻きのコイルを毎秒 50 回転 (ω = 314 rad/s) させると、最大値は 200 × 0.2 × 0.01 × 314 = 126 V、実効値は 89 V です。起電力が最大になるのはコイルの面が磁場と平行なときで、そこでは貫く磁束は 0 ですが最も速く変化しています。発電所の発電機も同じしくみで、ふつうは固定したコイルの中で磁石を回し、50 Hz なら毎分 3,000 回転、60 Hz なら 3,600 回転させています。

変圧器

変圧器は、共通の鉄心に 2 つのコイルを巻いたものです。一次側の交流が鉄心に変化する磁束をつくり、それが二次側を貫いて電圧を誘導します。どちらのコイルの 1 巻きも同じ磁束変化を受けるので、1 巻きあたりの電圧は同じです。

V_s ÷ V_p = N_s ÷ N_p、理想変圧器では V_p I_p = V_s I_s

昔ながらの AC アダプターの変圧器なら、一次側 1,150 回、二次側 60 回の巻き数で 230 V を 12 V に下げられます。送電線ではその逆を行います。電圧を 10 倍にすると電流は 10 分の 1、電線の I²R による発熱は 100 分の 1 になるので、電気は数百キロボルトで遠くまで送られます。

シミュレーションの使い方

電磁誘導シミュレーターで試してみること:

手動を選び、位置スライダーをゆっくり、次に速く動かす: 速く動かすほど針が大きく振れ、止めると 0 に戻ります。
磁石が出入りするときのコイルの上の文字を見る: コイルの近い側の端は、近づく極と常に同じ極になり、離れていく極を引き止めます。
磁石を裏返す: すべての電流の向きが逆になります。
発電機で周波数を 2 倍にする: 磁束が 2 倍の速さで変わるので、最大電圧も 2 倍になります。
変圧器で巻き数を入れ替えて降圧にし、変圧器に直流を流すにチェックを入れる: 二次側からは何も出ません。

モデルの前提

点状の双極子磁石。磁場は中心にある理想的な双極子のものです。コイルから離れていれば正確ですが、磁石がコイルの中にあるときは大まかな近似です。
短いコイル。磁束は、半径 2 cm のコイルの長さ 4 cm に並んだ 9 巻きで平均しています。コイルの抵抗は 1 巻きあたり 0.02 Ω です。
自己インダクタンスなし。電流は起電力に即座に追従し、電流自身の磁場が電流に影響したり磁石を減速させたりはしません。
発電機の磁極間の一様磁場と、完全に一定の速さで回るコイル。
理想変圧器: 巻線の抵抗なし、鉄心の損失なし、磁束はすべて両方のコイルを貫き、励磁電流もありません。
スローモーション。発電機は毎秒 1 回転以下、変圧器の磁束は毎秒半周期で描いています。数値は実際の周波数のものです。

境界的なケース

静止した磁石: 磁束が最大のコイルの中心も含め、どこでも起電力は 0 です。
中心を動いている磁石: そこでは磁束が最大で一瞬変化しないので、起電力は 0 を通過します。
変圧器の巻き数が等しい: V_s = V_p となり、一方の回路をもう一方から絶縁するだけになります。これは安全のために役立ちます。
変圧器に直流: 出力はなく、一次側の電流は導線だけで制限されます。

モデルが成り立たなくなる場合

逆起電力と制動。大きな誘導電流は実際に磁石を押し返して減速させます。強い磁石を銅のパイプに落とすと、自分が誘導した渦電流のためにゆっくり落ちます。このシミュレーションは、設定した速さのまま磁石を動かします。
インダクタンス。実際のコイルは自分の電流の変化に逆らうので、巻き数が多く負荷が小さいと電流が遅れ、ε ÷ R より小さくなります。特に周波数が高いときに顕著です。
実際の変圧器は、巻線の抵抗と鉄心のヒステリシスや渦電流で電力の 1 〜 5% を失います。鉄心が薄板を重ねた構造なのはこのためです。負荷をかけると出力電圧が下がり、強く駆動しすぎたり周波数が低すぎたりすると鉄心が飽和します。
変化する電場と放射。周波数が高くなると、変化する場は電磁波として伝わり、ループを一周する 1 つの起電力といった回路の考え方は成り立たなくなります。

電磁誘導のしくみ: ファラデーの法則、レンツの法則、発電機と変圧器

磁束